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區間[0,1]上的康托爾函數
在數學中,以數學家格奧爾格·康托爾命名的康托爾函數,是一個一致連續,卻不絕對連續的函數。
康托爾函數 c : [0,1] → [0,1] ,對於x∈[0,1],其函數值c(x)可由以下步驟得到:
- 以三進位表示x。
- 如果x中有數字1,就將第一個1之後的所有數字換成0。
- 將所有數字2換成數字1。
- 以二進位讀取轉換之後的數,這個數即為c(x)。
例如:
- 1/4以三進位表示為0.020202...,其中並沒有1,因此經過第二步仍然是0.020202...,第三步轉換為0.010101...,將其視為二進位,則為1/3,因此c(1/4)=1/3。
- 1/5以三進位表示為0.01210121...,第二步轉換為0.01,由於其中沒有2,因此經過第三步後仍是0.01,視為二進位則為1/4,因此c(1/5)=1/4。
- 200/243以三進位表示為0.21102(即0.2110122222...),第二步轉換為0.21,第三步轉換為0.11,視為二進位則為3/4,因此c(200/243)=3/4。
其它定義[編輯]
性質構造[編輯]
若在[0, 1]上定義的f(x)滿足下列四個條件,則f(x)即為康托爾函數:[1]
![{\displaystyle \forall 0\leq x<y\leq 1,f(x)\leq f(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b0f8b23a1128b8bfc2375677198a725bb548a1)
![{\displaystyle f(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d308c32c9894b88115262081194321ae7d9bbf3)
![{\displaystyle f({\frac {1}{3}}x)={\frac {1}{2}}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae188771f36706e73e5c00f6a9c2f621fdbd9a96)
![{\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17b8f10783d141cb06d8f25b4947ee9270cdd09)
迭代構造[編輯]
下面我們構造一個函數序列{fn(x)},這個序列將收斂於康托爾函數:
首先定義
![{\displaystyle f_{0}(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bef29dc047096185caf3dcdaf15420aa7ba4f38)
接下來,對於每個正整數n,函數fn+1(x)都由函數fn(x)定義:
![{\displaystyle f_{n+1}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x)&{\mbox{if }}0\leq x<{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}{\frac {1}{3}}\leq x<{\frac {2}{3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x-2)&{\mbox{if }}{\frac {2}{3}}\leq x\leq 1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d553e39d072bf3f0abd39941f50ef2b0cbb39eb)
檢查 fn(x)是否每個點都收斂於之前定義的康托爾函數,我們可以發現,
![{\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{n-1}(x)|,\quad n\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acaa19c93f0ab49392691dfffce664ab89d1e14)
設f(x)是極限函數, 那麼對於任意非負整數n都有,
![{\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f(x)-f_{n}(x)|\leq 2^{-n+1}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b4bde40fc0cfc15e77ef2205a2ea62dd9a68eb)
另外可以注意到只要滿足f0(0) = 0, f0(1) = 1 且f0 有界,起始函數f0(x)具體是什麼函數並不重要。
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Cantor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-01-23]. (原始內容存檔於2019-02-14) (英語).