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冪集公理

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數學中,冪集公理公理化集合論Zermelo-Fraenkel公理之一。

在Zermelo-Fraenkel公理的形式語言中,這個公理讀做:

或簡寫為:

換句話說:

給定任何集合A有著一個集合使得,給定任何集合xx的成員,若且唯若xA的子集。

通過外延公理可知這個集合是唯一的。我們可以稱集合A冪集。所以這個公理的本質是:

所有集合都有一個冪集。

冪集公理一般被認為是無可爭議的,它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論的公理化中。

推論

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冪集公理允許定義兩個集合笛卡兒積

笛卡兒積是個集合因為

你可以遞歸定義集合的任何有限搜集的笛卡兒積:

注意笛卡兒積的存在性在不包含冪集公理的Kripke-Platek集合論英語Kripke–Platek set theory中是可證明的。

引用

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  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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注釋

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