布朗橋

標準布朗橋（英語：Brownian bridge）是概率論中常見的一個研究對象。它是一種連續時間上的隨機過程，在0和1處取值為0.

注意不要和布朗運動混淆。

布朗橋有時又被稱為綁在0和1處的布朗運動（此處僅為意譯）。

非標準的 布朗橋 只是在條件 $\scriptstyle [B_{t_{1}}=a,B_{t_{2}}=b]$ 下一般化的布朗橋。

定義

标准的布朗桥  $\scriptstyle (B_{t},t\geq 0)$ 为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件 $\scriptstyle B_{0}=B_{1}=0$ 下的维纳过程 （Wiener Process）。

它首先是一個高斯過程, 也就是說隨機向量 $\scriptstyle (B_{t_{1}},...,B_{t_{n}})$ 在條件 $\scriptstyle B_{1}=0$ 下服從高斯分布。所以它可以由期望和協方差來刻畫：

\forall 0\leq t\leq 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {E} [B_{t}|B_{1}=0]=0,

\forall 0\leq s<t\leq 1,\,\,cov(B_{s},B_{t}|B_{1}=0)=s(1-t).

定義的備註

事件 $\scriptstyle [B_{1}=0]$ 的概率為0。考慮滿足

\forall \varepsilon >0,\mathbb {P} [|B_{1}|<\varepsilon ]>0.

的事件 $\scriptstyle [|B_{1}|<\varepsilon ]$ ，我們可以考察條件分布 $\scriptstyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]$ 。由依分布收斂可得：

\mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|=0]

這給出了布朗橋的一個嚴格定義。

和其他隨機過程的關係

和布朗運動的關係

性質1

設 $\scriptstyle (W_{t},t\geq 0)$ 為一個維納過程 (或者布朗運動), 那麼過程 $\scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)$ :

\displaystyle B_{t}=W_{t}-tW_{1}

為一個標準的布朗橋。

相互定義

設 $\scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)$ 為一個標準的布朗橋， Z 是一個正態隨機變量，則過程 $\scriptstyle (W_{t}^{1},t\geq 0)$ et $\scriptstyle (W_{t}^{2},t\geq 0)$ :

W_{t}^{1}=B_{t}+tZ

et

W_{t}^{2}=B_{\frac {t}{T}}+{\frac {t}{T}}Z

為 $\scriptstyle t\in [0,1]$ 和 $\scriptstyle t\in [0,T]$ 上的維納過程。

性質 2

設 $\scriptstyle (W_{t},t\geq 0)$ 為一個維納過程, 則過程 $\scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)$ ：

B_{t}=(1-t)W_{\frac {t}{1-t}}

為一個標準布朗橋。

相互定義

設 $\scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)$ 為一個標準的布朗橋, 那麼過程 $\scriptstyle (W_{t},t\geq 0)$ ：

W_{t}=(1+t)B_{\frac {t}{1+t}}

為一個維納過程。

擴散形式下的表達

也可以認為布朗橋是一種擴散過程。事實上，如果 $W$ 是一種標準的布朗橋，隨機方程

dX_{t}=dW_{t}-{\frac {X_{t}}{1-t}}dt

初始條件 $X_{0}=0$ 的解和布朗橋同分布。

事實上, $X$ 是一個馬氏過程，這個從布朗橋的定義中不容易看出。

性質

設 $\scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)$ 為標準的布朗橋。

性質3

設 b 為一個實數，

\mathbb {P} \left[{\hbox{ there is a }}t\in [0,1]{\hbox{ s.t. }}B_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.

性質4

設 b 為一個正實數

\mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}|B_{t}|\geq b\right]=2\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.

性質 5

設a et b 為2個正實數.

\mathbb {P} \left[-a<B_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].

性質6

設 x 為一個正實數

\mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}B_{t}-\inf _{t\in [0,1]}B_{t}\geq x\right]=2\sum _{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.

參考文獻

Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-00451-3.
Revuz, Daniel; Yor, Marc. Continuous Martingales and Brownian Motion 2nd. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-57622-3.

閱論編概率論：隨機過程
離散時間（英語：Discrete-time stochastic process）	伯努利過程分支過程中餐館過程高爾頓-沃特森過程（英語：Galton–Watson process）獨立同分布馬爾可夫鏈莫蘭過程（英語：Moran process）隨機漫步循環擦除隨機漫步（英語：Loop-erased）自避行走
連續時間	貝塞爾過程出生-死亡過程維納過程/布朗運動布朗橋 Excursion（英語：Brownian excursion）分數布朗運動（英語：Fractional Brownian motion）幾何布朗運動 Meander（英語：Brownian meander）柯西過程（英語：Cauchy process） Contact process（英語：Contact process (mathematics)） Cox process（英語：科克斯过程） Diffusion process（英語：Diffusion process） Empirical process（英語：Empirical process）費勒過程（英語：Feller process）弗萊明-維奧過程（英語：Fleming–Viot process）伽馬過程（英語：Gamma process）亨特過程（英語：Hunt process） Interacting particle system（英語：Interacting particle system）s 伊藤積分伊藤過程跳躍擴散（英語：Jump diffusion）跳躍過程萊維過程 Local time（英語：Local time (mathematics)）馬爾可夫加過程（英語：Markov additive process）麥基恩-弗拉索夫過程（英語：McKean–Vlasov process）奧恩斯坦-烏倫貝克過程泊松過程複合泊松過程（英語：Compound Poisson process）非齊次泊松過程泊松點過程施拉姆-勒夫納演進半鞅 Sigma-martingale（英語：Sigma-martingale） Stable process（英語：Stable process） Superprocess（英語：Superprocess） Telegraph process（英語：Telegraph process） Variance gamma process（英語：Variance gamma process）維納過程 Wiener sausage（英語：Wiener sausage）
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精算學	Bühlmann（英語：Bühlmann model） Cramér–Lundberg（英語：Cramér–Lundberg model） Risk process（英語：Risk process） Sparre–Anderson（英語：Sparre–Anderson model）
等候理論	Bulk（英語：Bulk queue） Fluid（英語：Fluid queue） Generalized queueing network（英語：G-network） M/G/1（英語：M/G/1 queue） M/M/1 M/M/c（英語：M/M/c queue）
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極限定理	中心極限定理 Donsker's theorem（英語：Donsker's theorem） Doob's martingale convergence theorems（英語：Doob's martingale convergence theorems）遍歷理論 Fisher–Tippett–Gnedenko theorem（英語：Fisher–Tippett–Gnedenko theorem） Large deviation principle（英語：Large deviation principle）大數法則重對數律 Maximal ergodic theorem（英語：Maximal ergodic theorem） Sanov's theorem（英語：Sanov's theorem）
不等式	Burkholder–Davis–Gundy（英語：Burkholder–Davis–Gundy inequalities） Doob's martingale（英語：Doob's martingale inequality） Kunita–Watanabe（英語：Kunita–Watanabe inequality）
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分類

定義

和其他隨機過程的關係

和布朗運動的關係

擴散形式下的表達

性質

相關條目

參考文獻