大步小步算法

在群論中，大步小步算法（英語：baby-step giant-step）是丹尼爾·尚克斯發明的一種中途相遇算法，用於計算離散對數或者有限阿貝爾群的階。其中離散對數問題在公鑰加密領域有著非常重要的地位。

許多常用的加密系統都基於離散對數極難計算這一假設——計算越困難，這些系統提供的數據傳輸就越安全。增加離散對數計算難度的一種方法，是把密碼系統建立在更大的群上。

理論

這是一種空間換時間的算法，實質上是求解離散對數的樸素算法（枚舉並試乘）的一個相當簡單的改進。

給出一個 $n$ 階循環群 $G$ 、該群的一個生成元 $\alpha$ 和一個元素 $\beta$ 。試找到一個整數 $x$ 滿足

$\alpha ^{x}=\beta \,.$

大步小步算法把 $x$ 代換成：

$x=im+j$

$m=\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil$

$0\leq i<m$

$0\leq j<m$

於是有：

$\alpha ^{x}=\beta \,$

$\alpha ^{im+j}=\beta \,$

$\alpha ^{j}=\beta \left(\alpha ^{-m}\right)^{i}\,$

該算法先對 $j$ 的不同取值計算出 $\alpha ^{j}$ 的值，然後固定一個 $m$ ，並對 $i$ 嘗試不同的取值,帶入上面同餘式的右邊，看是否與某個（已經預先算出的）同餘式左邊的值相匹配。

算法

給出C++17版本的代碼：

#include <cmath>
#include <cstdint>
#include <unordered_map>

std::uint32_t pow_m(std::uint32_t base, std::uint32_t exp, std::uint32_t mod) {
        // 这里需要实现快速幂算法
}


///计算满足 g^x % mod == h 的x
std::optional<std::uint32_t> babystep_giantstep(std::uint32_t g, std::uint32_t h, std::uint32_t mod) {
        const auto m = static_cast<std::uint32_t>(std::ceil(std::sqrt(mod)));
        auto table = std::unordered_map<std::uint32_t, std::uint32_t>{};
        auto e = std::uint64_t{1}; // 临时值可能大于32位整数的范围
        for (auto i = std::uint32_t{0}; i < m; ++i) {
                table[static_cast<std::uint32_t>(e)] = i;
                e = (e * g) % mod;
        }
        const auto factor = pow_m(g, mod-m-1, mod);
        e = h;
        for (auto i = std::uint32_t{}; i < m; ++i) {
                if (auto it = table.find(static_cast<std::uint32_t>(e)); it != table.end()) {
                        return {i*m + it->second};
                }
                e = (e * factor) % mod;
        }
        return std::nullopt;
}

實務應用

加速大步小步算法的最佳方式，是使用高效的表格查找機制。在此情況下，最適合的是使用雜湊表（hash table）。雜湊是針對第二個元件（即元素對的第二個值）進行，並且在主迴圈的第 1 步中，會對 γ 做雜湊，然後檢查對應的記憶體位置。由於雜湊表可以在 $O(1)$（常數時間）內進行新增與查詢操作，因此這個過程不會拖慢整體的大步小步算法。

此演算法的空間複雜度為 $O({\sqrt {n}})$，而時間複雜度則為 $O({\sqrt {n}})$。這樣的執行時間比起暴力的 $O(n)$ 執行時間來得更優。

當模數是一個不是太大的質數時，竊聽者可以使用大步小步算法來推導在Diffie–Hellman金鑰交換中產生的私鑰。如果模數不是質數，則可以使用Pohlig–Hellman演算法，其演算法複雜度更低，也有可能解出相同的問題。

延伸閱讀

• H. Cohen, A course in computational algebraic number theory, Springer, 1996.
• D. Shanks, Class number, a theory of factorization and genera. In Proc. Symp. Pure Math. 20, pages 415—440. AMS, Providence, R.I., 1971.
• A. Stein and E. Teske, Optimized baby step-giant step methods, Journal of the Ramanujan Mathematical Society 20 (2005), no. 1, 1–32.
• A. V. Sutherland, Order computations in generic groups（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, PhD thesis, M.I.T., 2007.
• D. C. Terr, A modification of Shanks』 baby-step giant-step algorithm, Mathematics of Computation 69 (2000), 767–773. doi:10.1090/S0025-5718-99-01141-2