在數學中,特別是測度論中,外測度是一個定義在給定集合上的擴展實數值的函數,並滿足幾條附加條件。一般的外測度理論由C. Carathéodory引進,目的是給可測集和可數可加測度的理論建立基礎。C. Carathéodory關於外測度上所做的工作應用於測度理論中的集合論上(例如外測度用於證明Carathéodory擴張定理)。豪斯多夫也用此來定義一個類似維數的度量,現在稱為豪斯多夫維數。
從長度,面積及體積歸納出來的測度概念,對於很多抽象不規則的集合是很有用的。我們希望定義一個廣義的測度函數
,使其滿足以下4個條件:
- 任意實數區間
有測度
;
- 測度函數
是非負擴展實數值函數,定義在
的所有子集合上;
- 平移不變性:任給集合
和實數
,
與
有相同的測度(這裡,
);
- 可數可加律:對
的任意的兩兩無交的子集序列
,有:
。
事實上,這幾條要求是不相容的。這樣的測度函數
不能定義在
的所有子集上,也就是說,不可測集是存在的。構造外測度的目的就是選出那些可測集合,使得可數可加性得到滿足。
外測度是從
的冪集合映到
的函數
![{\displaystyle \varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5529a2dd2375627adeeb522966966d7bd380a785)
且滿足以下條件:
![{\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a9d2472389060e8c0ead7bd40e211333ee62a8)
![{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053416a88311ce317cb5940ae09b5d8b54614006)
- 次可加性: 對 X 的任意子集序列
(不管兩兩交集是否空集合)
![{\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454ea0c1a214b5eca2cab910dc7c2226f263d451)
接著可以藉由外測度來定義 X 中的可測集合:子集合
是
-可測的,若且唯若對
的任意子集合
有:
![{\displaystyle \varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\cap E^{c}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168e10524a860f67ed1158bf33ced68014d9a393)
所有的
-可測集合構成了一個
-代數 ,且如果
限制在我們剛定義的可測集合上時,
會有可數可加的完備測度性質。這個方法是Carathéodory構造出來的,是構造勒貝格測度和積分理論的重要方法。
假設
是一個度量空間且
是一個在
之上的外測度。若
有以下性質 :
只要
![{\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1469bca05e675ccb2efd3b9294c984eba09e99ca)
就有
![{\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed96f2ff6bdc99f6ca82e9c54390936e03c52d44)
那麼稱
是一個度量外測度。
如果
是
上的度量外測度,那麼
的每個Borel子集都是
-可測的。
外測度的構造[編輯]
有幾種方法來構造一個集合上的外測度。下面兩種是特別有用的。
令
為一集合,
是
的包含空集的子集族,
是
上的非負擴展實數值函數,且
在空集處取零。
那麼定義
![{\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0529438ab1d4192f1fa0fd7ec8824eaa3544b638)
則
是一個外測度。
另一種方法在度量空間上更有效,因為它直接得到了度量外測度。設
是一個度量空間,
是
的包含空集的子集族,
是
上的非負擴展實數值函數,且
在空集處取零。那麼,對任意
,令
![{\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1098809a8041669d607e0db3b98400800424921f)
及
![{\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203dee919617e13b3b46f09fc80fbfeb135a55f2)
對
有
成立,因為
減小時,下確界是在更小的集合上取得的。所以
![{\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bcaa6ea79a669c2851fd057a9a716d76193a40)
存在(可能是無窮大)。
這樣構造的
是一個度量外測度。這個構造也就是定義豪斯多夫維數時用的外測度。
- P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
- M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953