均方誤差

提示：此條目的主題不是均方根誤差。

在統計學中，平均平方誤差（mean-square error，MSE）或均方誤差，又稱均方偏差（mean-square deviation，MSD）、均方差，是預測值或估計值與真實值的差異平方的均值。均方誤差越小說明模型的預測或者母數的估計精度越準確。

計算公式

對於無法觀察的母數$\theta$的一個估計函數T；其定義為：

$\operatorname {MSE} (T)=\operatorname {E} ((T-\theta )^{2}),$

即，它是「誤差」的平方的期望值。誤差就是估計值與被估計量的差。均方誤差滿足等式

$\operatorname {MSE} (T)=\operatorname {var} (T)+(\operatorname {bias} (T))^{2}$

其中

$\operatorname {bias} (T)=\operatorname {E} (T)-\theta ,$

也就是說，偏差$\operatorname {bias} (T)$是估計函數的期望值與那個無法觀察的母數的差。

下邊是一個具體例子。假設

$X_{1},\dots ,X_{n}\sim \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2}),$

即$X_{1},\dots ,X_{n}$是一組來自常態分布的樣本。常用的兩個對σ²估計函數為：

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}\$　和　${\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}$

其中

${\overline {X}}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$

為樣本均值。

第一個估計函數為最大概似估計，它是偏誤的，即偏差不為零，但是它的變異數比第二個小。而第二個估計函數是不偏的。較大的變異數某種程度上補償了偏差，因此第二個估計函數的均方誤差比第一個要大。

另外，這兩個估計函數的均方誤差都比下邊這個偏誤估計函數大：${\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}$

這個估計函數使得形如$c\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}$（其中c是常數）的均方誤差最小。

參見

• 圖像壓縮
• 視訊壓縮
• 平均百分比誤差
• 均方量化誤差
• 加權均方誤差
• 均方偏移
• 均方預測誤差
• 最小均方誤差
• 過適
• 峰值信噪比

外部連結

• 測量圖像以及視頻均方誤差的一些工具（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）