週期點

在數學中，特別是在迭代函數和動態系統領域，週期點是指被多次迭代後又映射到自身的點。這裡的迭代次數叫做週期。週期為1的週期點被稱為不動點。

迭代函數

f:X\to X

若存在 $n$ ，使得

\ f^{n}(x)=x

則 $x$ 是週期為 $n$ 的週期點。這裡， $\ f^{n}$ 是 $f$ 的 $n$ 次迭代。使得上式成立的最小正整數被稱為最小週期。

設 $p$ 是函數 $f(x)$ 的以 $n$ 為週期的週期點，若

|(f^{n})^{\prime }|\neq 1

則 $p$ 是雙曲週期點。若

|(f^{n})^{\prime }|<1

則稱週期點p為吸引子；若

|(f^{n})^{\prime }|>1

則稱週期點p為排斥子。

若該週期點的穩定流形的維數為0，則稱其為源點；若不穩定流形的維數為0，則稱其為匯點；若穩定流形和不穩定流形的維數均不為0，則稱其為鞍點。

給定一個連續時間動態系統 $(\mathbb {R} ,X,\Phi )$ ，其中 $X$ 是相空間， $\Phi$ 是狀態轉移函數，

\Phi :\mathbb {R} \times X\to X

若存在 $t>=0$ ， $x\in X$ ，使得

\Phi (t,x)=x\,

則 $x$ 被稱為以 $t$ 為週期的週期點，使上式成立的最小正數 $t$ 被稱為最小週期。

設 $x$ 是以 $t$ 為週期的週期點，則對於任意實數 $s$ ， $\Phi (s,x)=\Phi (s+t,x)\,$ 都成立。設軌跡 $\gamma _{x}$ 經過週期點 $x$ ，則該軌跡上的所有點均為週期點，且最小週期與 $x$ 的最小週期相等。