動力學時標

動力學時標（英語：free-fall timescale）是衡量恆星演化的一個時標，同樣也可以用來衡量星雲坍縮所需要的時間。其定義爲某一質點從某一物體表面落下，所到達物體中心所需的時間。動力學時標由下式給出：$$t_{ff}={\sqrt {{\frac {3\pi }{32}}{\frac {1}{G\rho _{0}}}}}$$

理論推導

考慮某一位於恆星表面的質點，該質點的運動方程可以這樣被寫出：

$a={\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}}$

其中$M(r)$是半徑$r$內的質量，$a$是質點受到的加速度。通過解該微分方程，可以解出動力學時標。

通過假設整個恆星是一個球殼，可以粗略估計動力學時標的大小。加速度可以近似為${\begin{smallmatrix}a\approx {\frac {R}{t_{ff}^{2}}}\end{smallmatrix}}$，半徑$r$內的質量可以近似為恆星的質量（即$M(r)\approx M$），而半徑$r$可以近似為恆星的半徑$R$，這樣可以得到：

${\frac {R}{t_{ff}^{2}}}\approx {\frac {GM}{R^{2}}}$

再通過平均密度的定義，可以得出動力學時標的粗略估計：$$t_{ff}\approx {\sqrt {\frac {3}{4\pi G\rho _{0}}}}$$這與前面的解在量綱上一致。

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