函數方程是含有未知函數的方程。函數方程可以有一個解,可以無解,也可以有多個解,甚至可以有無窮多個解。
![{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c0dcb4535d0e42b3e09cff1736643170ad9e71)
- 的解是黎曼ζ函數。
![{\displaystyle \Gamma (x)={\Gamma (x+1) \over x}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f403760d22ac48fcd14985bfd8af6f76c0f1a27)
- 的解是伽瑪函數。
![{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9d2dc7314f25332bc30ded90452ef1c4cc887c)
的解是伽瑪函數。
的解是所有指數函數。
的解是所有對數函數。
(柯西函數方程)
(龐加萊方程)
(琴生)
(達朗貝爾)
(阿貝爾方程)。
解函數方程[編輯]
函數方程與代數方程、微分方程不同,並沒有普遍的解法。所以這個分支也沒能發展起來。如上述的解為Gamma函數和初等函數的方程的解法完全不同。
對於二元函數方程,對其變量賦予特殊值的做法較多。
例子:解函數方程
。
設
:
。所以
,
。
現在,設
:
![{\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e01687031ee7721fdc5abdd7916f6422ce301b)
![{\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9c13312f8023ea21ad4a8f86e886b1f78acebc)
![{\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c2a8df1753502fcdaafc94c07a2ba4e49e9c82)
由於實數的平方非負,以及兩個非負數的和為零若且唯若兩個數都為零,因此對於所有x,
,所以
是唯一的解。
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