浸入三維空間中的克萊因瓶
在數學領域中,克萊因瓶(德語:Kleinsche Flasche)是指一種無定向性的平面,比如二維平面,就沒有「內部」和「外部」之分。克萊因瓶最初的概念提出是由德國數學家費利克斯·克萊因提出的。克萊因瓶和莫比烏斯帶非常相像。
要想像克萊因瓶的結構,可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部,向外扭曲後伸進瓶子的內部,再與底部的洞相連接。
和我們平時用來喝水的杯子不一樣,這個物體沒有「邊」,它的表面不會終結。它也不類似於氣球,一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面(所以說它沒有內外部之分)。
其名稱可能源自德語中的「Kleinsche Fläche」(克萊因平面),後來被誤解為「Kleinsche Flasche」(克萊因瓶)。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。[1]
從拓撲學角度上看,克萊因瓶可以定義為[0,1] × [0,1]的矩陣,邊定義為(0,y) ~ (1,y),其中0 ≤ y ≤ 1;和(x,0) ~ (1-x,1),其中0 ≤ x ≤ 1。
可以用圖表示為
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Klein_Bottle_Folding_1.svg/150px-Klein_Bottle_Folding_1.svg.png)
就像莫比烏斯帶一樣,克萊因瓶是不可定向的。但是與之不同的是,克萊因瓶是一個閉合的曲面,也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以嵌入到三維或更高維的歐幾里得空間,克萊因瓶只能嵌入到於四維或更高維空間。
參數方程模型[編輯]
克萊因瓶的參數十分複雜:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x(u,v)=-{\frac {2}{15}}\cos u(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}-60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u})\\&y(u,v)=-{\frac {1}{15}}\sin u(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}-60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}\\&\quad \quad \quad \quad -5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-80\cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u})\\&z(u,v)={\frac {2}{15}}(3+5\cos {u}\sin {u})\sin {v}\\&(0\leq u<\pi ,0\leq v<2\pi )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba9251ee8368cc134d0f0717f5d51c3b81b2cfc)
還有一個較簡單的
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x(u,v)=\cos u(\cos {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\sin {\frac {u}{2}}\sin v\cos v)\\&y(u,v)=\sin u(\cos {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\sin {\frac {u}{2}}\sin v\cos v)\\&z(u,v)=-\sin {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\cos {\frac {u}{2}}\sin v\cos v\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09d104a8ecefaaea1bdb4e82ca89b8326575af9)
參考資料[編輯]