下推自動機

在自動機理論中，下推自動機（英語：Pushdown automaton）是使用了包含數據的棧的有限自動機。

綜述

下推自動機比有限自動機複雜：除了有限狀態組成部分外，還包括一個長度不受限制的棧；下推自動機的狀態遷移不但要參考有限狀態部分，也要參照棧當前的狀態；狀態遷移不但包括有限狀態的變遷，還包括一個棧的出棧或入棧過程。下推自動機可以形象的理解為，藉由加上讀取一個容量無限棧的能力，擴充一個能做$\epsilon$-轉移的非確定有限自動機。

下推自動機存在「確定」與「非確定」兩種形式，兩者並不等價。（對有限自動機兩者是等價的）

每一個下推自動機都接受一個形式語言。被「非確定下推自動機」接受的語言是上下文無關語言。

如果我們把下推自動機擴展，允許一個有限自動機存取兩個棧，我們得到一個能力更強的自動機，這個自動機與圖靈機等價。

下推自動機作為一個形式系統最早於1961年出現在 Oettinger 的論文中。它與上下文無關文法的等價性是由喬姆斯基於1962年發現的。

形式定義

PDA 形式定義為 6-元組：

$M=(Q,\ \Sigma ,\ \Gamma ,\ \delta ,\ q_{0},\ F)$ 這裡的

• $\,Q$ 是狀態的有限集合
• $\,\Sigma$ 是輸入字母表的有限集合
• $\,\Gamma$ 是棧字母表的有限集合
• $\,\delta$: $Q\times \Sigma _{\epsilon }\times \Gamma _{\epsilon }\longrightarrow {\mathcal {P}}(Q\times \Gamma _{\epsilon })$ 是轉移函數
• $q_{0}$ 是「開始狀態」
• $F\subset Q$ 是「接受狀態」的集合
• $\Gamma _{\epsilon }=\Gamma \cup \{\epsilon \}$
• $\Sigma _{\epsilon }=\Sigma \cup \{\epsilon \}$

計算定義 1

對於任何 PDA $M=(Q,\ \Sigma ,\ \Gamma ,\ \delta ,\ q_{0},\ F)$，計算路徑是一個有序的（n+1）-元組 $(q_{0},\,q_{1},....,\,q_{n})$，這裡的 $q_{i}\in Q,n\geq 0$，它滿足如下條件：

(i) $\ \ (q_{i+1},b_{i+1})\in \delta (q_{i},w_{i+1},a_{i+1})$ 對於 i = 0, 1, 2,......, n-1,

這裡的 $w_{i+1}\in \Sigma _{\epsilon },\ a_{i+1},\ b_{i+1}\in \Gamma _{\epsilon }$

(ii) $\exists \,s_{0},\,s_{1},\,s_{2},\,s_{3},\,\cdots ,\,s_{n}\,\in \Gamma ^{*}$ 使得

$s_{i}=a_{i+1}t_{i},\,s_{i+1}=b_{i+1}t_{i},\,t_{i}\in \Gamma ^{*}$

在直覺上，PDA 在計算過程中任何一點上都面對著多種可能性，從棧頂讀一個符號並把它替代為另一個符號，從棧頂讀一個符號並刪除它而不替換，不從棧頂讀任何符號但壓入另一個符號進去，或什麼都不做。所有這些都同時由等式 $s_{i}=a_{i+1}t_{i}\,$ 和 $s_{i+1}=b_{i+1}t_{i}\,$ 來支配。$s_{i}\,$ 是緊接在第 i+1 次轉移移動之前的棧內容，而 $a_{i+1}\,$ 是要從棧頂去除的符號。$s_{i+1}\,$ 是緊接在第 i+1 次轉移移動之後棧內容，而 $b_{i+1}\,$ 是在第 i+1 次轉移移動期間要增加到棧上的符號。

$a_{i+1}\,$ 和 $b_{i+1}\,$ 二者都可以 $\epsilon \,$。

如果 $a_{i+1}\neq \epsilon \,$ 而 $b_{i+1}\neq \epsilon \,$，則 PDA 從棧讀一個符號並把它替代為另一個符號。

如果 $a_{i+1}\neq \epsilon \,$ 而 $b_{i+1}=\epsilon \,$，則 PDA 從棧讀一個符號並刪除它而不替換。

如果 $a_{i+1}=\epsilon \,$ 而 $b_{i+1}\neq \epsilon \,$，則 PDA 簡單的增加一個符號到棧上。

如果 $a_{i+1}=\epsilon \,$ 而 $b_{i+1}=\epsilon \,$，則 PDA 保持棧不變動。

注意當 n=0 時，計算路徑就是單元素集合 $(q_{0})\,$。

計算定義 2

對於任何輸入 $w=w_{1}w_{2}\cdots w_{m},\ w_{i}\in \Sigma ,m\geq 0$，M 接受 w，如果存在計算路徑 $(q_{0},\,q_{1},....,\,q_{n})\,$ 和有限序列 $r_{0},r_{1},r_{2},\cdots r_{m}\in Q,\ m\leq n$，使得

(i) 對於每個 i = 0, 1, 2,...m，$r_{i}\,$ 都在計算路徑上。就是說

$\exists f(i)$ 這裡的 $i\leq f(i)\leq n$ 使得 $r_{i}=q_{f(i)}\,$

(ii) $(q_{f(i)+1},b_{f(i)+1})\in \delta (r_{i},w_{i+1},a_{f(i)+1})$ 對於每個 i = 0, 1, 2,...m-1。

這裡的 $a_{f(i)+1}\,$ 和 $b_{f(i)+1}\,$ 定義同於計算定義 1。

(iii) $(q_{j+1},b_{j+1})\in \delta (q_{j},\epsilon ,a_{j+1})$，如果 $q_{j}\notin \{r_{0},r_{1},\cdots r_{m}\}$

這裡的 $a_{j+1}\,$ 和 $b_{j+1}\,$ 定義同於計算定義 1。

(iv) $r_{m}=q_{n}\,$ 且 $r_{m}\in F$

注意上述定義不提供測試空棧的機制。要這麼做你需要在所有計算開始前在棧上寫一個特殊符號，使得 PDA 可以在檢測到這個符號的時候有效的識別出棧已經空了。形式的說，實現它可通過介入轉移 $\delta (q_{0},\epsilon ,\,\epsilon )=\{(q_{1},\$)\}$這裡的 $ 是特殊符號。

例子

下面是識別語言 $\{0^{n}1^{n}|n\geq 0\}$ 的 PDA 的形式描述：

$M=(Q,\ \Sigma ,\ \Gamma ,\ \delta ,\ q_{1},\ F)$

• $Q=\{q_{1},q_{2},q_{3},q_{4}\}\,$

• $\Sigma =\{0,1\}\,$

• $\Gamma =\{0,\$\}\,$

• $F=\{q_{1},q_{4}\}\,$

• $\delta (q_{1},\epsilon ,\epsilon )=\{(q_{2},\$),(q_{1},\epsilon )\}\,$

• $\delta (q_{2},0,\epsilon )=\{(q_{2},0)\}\,$

• $\delta (q_{2},1,0)=\{(q_{3},\epsilon )\}\,$

• $\delta (q_{3},1,0)=\{(q_{3},\epsilon )\}\,$

• $\delta (q_{3},\epsilon ,\$)=\{(q_{4},\epsilon )\}\,$

• $\delta (q,w,a)=\varnothing$ 對於任何其他狀態、輸入和棧符號的值。

理解計算過程

下面展示上述 PDA 如何計算不同的輸入字符串。

(a) 輸入字符串 = 0011

(i) 寫 $\delta$(q₁, $\epsilon$, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q₂, $) 來表示 (q₂, $) $\in$ $\delta$(q₁, $\epsilon$, $\epsilon$)

s₀ = $\epsilon$, s₁ = $, t = $\epsilon$, a = $\epsilon$, b = $

設置 r₀ = q₂

(ii) $\delta$(r₀, 0, $\epsilon$) = $\delta$(q₂, 0, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q₂, 0)

s₁ = $, a = $\epsilon$, t = $, b = 0, s₂ = 0$

設置 r₁ = q₂

(iii) $\delta$(r₁, 0, $\epsilon$) = $\delta$(q₂, 0, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q₂, 0)

s₂ = 0$, a = $\epsilon$, t = 0$, b = 0, s₃ = 00$

設置 r₂ = q₂

(iv) $\delta$(r₂, 1, 0) = $\delta$(q₂, 1, 0) $\rightarrow$ (q₃, $\epsilon$)

s₃ = 00$, a = 0, t = 0$, b = $\epsilon$, s₄ = 0$

設置 r₃ = q₃

(v) $\delta$(r₃, 1, 0) = $\delta$(q₃, 1, 0) $\rightarrow$ (q₃, $\epsilon$)

s₄ = 0$, a = 0, t = $, b = $\epsilon$, s₅ = $

(vi) $\delta$(q₃, $\epsilon$, $) $\rightarrow$ (q₄, $\epsilon$)

s₅ = $, a = $, t = $\epsilon$, b = $\epsilon$, s₆ = $\epsilon$

設置 r₄ = q₄

因為 q₄ 是接受狀態，0011 被接受。

作為總結，計算路徑 = (q₁, q₂, q₂, q₂, q₃, q₃, q₄)

而 (r₀, r₁, r₂, r₃, r₄) = (q₂, q₂, q₂, q₃, q₄)

(b) 輸入字符串 = 001

計算移動 (i), (ii), (iii), (iv) 將必定同於情況 (a)，否則，PDA 在到達 (v) 之前就已經進入死胡同。

(v) $\delta$(r₃, $\epsilon$, a) = $\delta$(q₃, $\epsilon$, a)

因為 s₄ = 0$，要麼 a = $\epsilon$ 要麼 a = 0

在任何一種情況下，$\delta$(q₃, $\epsilon$, a) = $\varnothing$

因此計算在 r₃ = q₃ 進入死胡同，這不是接受狀態。所以 001 被拒絕。

(c) 輸入字符串 = $\epsilon$

設置 r₀ = q₁, r₁ = q₁

$\delta$(r₀, $\epsilon$, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q₁, $\epsilon$)

因為 q₁ 是接受狀態，$\epsilon$ 被接受。

廣義下推自動機(GPDA)

GPDA 是在一個步驟內寫入整個字符串到棧上或從棧上去除整個字符串的 PDA。

GPDA 形式定義為 6-元組 $M=(Q,\ \Sigma ,\ \Gamma ,\ \delta ,\ q_{0},\ F)$

這裡的 Q, $\Sigma \,$, $\Gamma \,$, q₀ 和 F 的定義同於 PDA。

$\,\delta$: $Q\times \Sigma _{\epsilon }\times \Gamma ^{*}\longrightarrow {\mathcal {P}}(Q\times \Gamma ^{*})$ 是轉移函數。

GPDA 的計算規則同於 PDA，除了 a_i+1 和 b_i+1 現在是字符串而不是符號之外。

GPDA 和 PDA 是等價的，如果一個語言可被一個 PDA 識別，它也可被一個 GPDA 識別，反之亦然。

可以使用下列模擬公式化對 GPDA 和 PDA 的等價性的一個分析式證明：

設 $\delta$(q₁, w, x₁x₂...x_m) $\longrightarrow$ (q₂, y₁y₂...y_n) 是 GPDA 的轉移。

這裡的 q₁, q₂ $\in$ Q, w $\in \Sigma _{\epsilon }\,$, x₁x₂...x_m $\in \Gamma ^{*}$, m$\geq$0, y₁y₂...y_n $\in \Gamma ^{*}$, n$\geq$0。

構造 PDA 的下列轉移：

$\delta ^{'}$(q₁, w, x₁) $\longrightarrow$ (p₁, $\epsilon$)

$\delta ^{'}$(p₁, $\epsilon$, x₂) $\longrightarrow$ (p₂, $\epsilon$)

$\vdots$

$\delta ^{'}$(p_m-1, $\epsilon$, x_m) $\longrightarrow$ (p_m, $\epsilon$)

$\delta ^{'}$(p_m, $\epsilon$, $\epsilon$ ) $\longrightarrow$ (p_m+1, y_n)

$\delta ^{'}$(p_m+1, $\epsilon$, $\epsilon$ ) $\longrightarrow$ (p_m+2, y_n-1)

$\vdots$

$\delta ^{'}$(p_m+n-1, $\epsilon$, $\epsilon$ ) $\longrightarrow$ (q₂, y₁)

參見

• 堆疊結構機器
• 確定下推自動機
• 有限自動機
• 上下文無關文法

外部連結

• non-deterministic pushdown automaton, on Planet Math.
• JFLAP（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），simulator for several types of automata including nondeterministic pushdown automata

參考書目

• 《自動機理論、語言和計算導引》，John E. Hopcroft，Jeffery D. Ullman，徐美瑞譯，洪加威校，科學出版社，1986年
• Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997. ISBN 978-0-534-94728-6.  Section 2.2: Pushdown Automata, pp.101–114.