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筝形二十四面体

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筝形二十四面体
筝形二十四面体
(按这里观看旋转模型)
类别卡塔兰立体
对偶多面体小斜方截半立方体
识别
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
sladid在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_f1 4 node 3 node_f1 
康威表示法oC
deC
性质
24
48
顶点26
欧拉特征数F=24, E=48, V=26 (χ=2)
二面角138°07′05″
arccos(−7 + 42/17)
组成与布局
面的种类

筝形
面的布局
英语Face configuration
V3.4.4.4
顶点图V3.4.4.4
对称性
对称群Oh, BC3, [4,3], *432
旋转对称群
英语Rotation_groups
O, [4,3]+, (432)
特性
面可递
图像
立体图
V3.4.4.4
顶点图

小斜方截半立方体
对偶多面体

展开图

几何学中,筝形二十四面体(亦称为四角化二十四面体[2]梯形二十四面体[3][4])是一种卡塔兰立体,由24个筝形组成,其对偶多面体小斜方截半立方体[4]

性质

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筝形二十四面体由24个、48条、26个顶点组成[5],其中24个面为24个全等的筝形、48条边中有24条等长的长边和24条等长的短边、26个顶点中有8个顶点是3个筝形的公共顶点,对应的顶角是三面角;以及6个顶点是4个筝形的公共顶点,对应的顶角是四面角;剩下的12个顶点也是4个筝形的公共顶点,对应的顶角也是四面角,但角度与前者不同[6]。它的对偶多面体小斜方截半立方体

面的组成

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筝形二十四面体由24个全等筝形(亦称为鸢形)所组成[7]

该筝形或筝形的长短边长比为1:(2 − 1/2) ≈ 1:1.292893...[8],有3个角等角,其角度分别为(115.26°,81.58°,81.58°,81.58°)[8]

体积与表面积

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一个最短边边长为a的筝形二十四面体,其表面积A、体积是V为[9]

顶点坐标

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若其对偶多面体小斜方截半立方体的边长为单位长,则对应的几何中心位于原点的筝形二十四面体,顶点坐标为[10]

正交投影

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筝形二十四面体有三种从顶点投影的高对称性正交投影。后两者的对偶图其对称性对应于B2和A2考克斯特平面英语Coxeter plane[11][12]

正交投影
投影对称性 [2] [4] [6]
图像
对偶图像

使用

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在文化中,筝形二十四面体出现在部分艺术创作中,例如莫里兹·柯尼利斯·艾雪的艺术创作《星星》以及马兰·布洛克荷兰语Maree_Blok的装置艺术《永恒的水》。此外,亦有部分24个面的多面体骰子被设计为筝形二十四面体的外型,其他常见的24面骰子有三角化八面体四角化六面体伪筝形二十四面体英语Pseudo-deltoidal icositetrahedron偏方二十四面体五角二十四面体等形状[13]

化学中,部分物质的结晶形状是筝形二十四面体。例如,在自然界中,方沸石石榴石晶体结构就是筝形二十四面体,部分实验中制备的氧化铟奈米晶体亦是这种形状[14]。在矿物学中,这种晶体形状称为偏方面体(英语:Trapezohedron)[15][16][17],但在几何学中偏方面体则有其他含意[18],表示反柱体的对偶多面体[19][20]。 此外在某些情况下会结晶出较不规则的筝形二十四面体,其在结晶学中称为偏方二十四面体(英语:diplohedron)[21][16][22]

相关多面体与镶嵌

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投影到球面的筝形二十四面体

若将筝形二十四面体投影到球面上,如右图所示,则其边会与复合八面体立方体(立方体和其对偶——正八面体在空间中互相重叠组合成的结构)投影到球面上的果共用相同的棱[23]


筝形二十四面体

复合八面体立方体与左图同一个角度

筝形二十四面体是小斜方截半立方体的对偶多面体,而小斜方截半立方体可以经由立方体或正八面体透过扩展变换来构造[24]。其他可以由立方体或正八面体透过康威变换构造的立体及其对偶有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
node_1 4 node 3 node  node_1 4 node_1 3 node  node 4 node_1 3 node  node 4 node_1 3 node_1  node 4 node 3 node_1  node_1 4 node 3 node_1  node_1 4 node_1 3 node_1  node_h 4 node_h 3 node_h  node_h 4 node 3 node  node 4 node_h 3 node_h 
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
node_f1 4 node 3 node  node_f1 4 node_f1 3 node  node 4 node_f1 3 node  node 4 node_f1 3 node_f1  node 4 node 3 node_f1  node_f1 4 node 3 node_f1  node_f1 4 node_f1 3 node_f1  node_fh 4 node_fh 3 node_fh  node_fh 4 node 3 node  node 4 node_fh 3 node_fh 
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
*变异的n42对称性对偶扩展镶嵌系列:V3.4.n.4
对称性
*n32英语Orbifold notation
[n,3]英语Coxeter notation
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
图像
面布局英语Face configuration

V3.4.2.4

V3.4.3.4

V3.4.4.4

V3.4.5.4

V3.4.6.4

V3.4.7.4英语Rhombitriheptagonal tiling

V3.4.8.4

V3.4.∞.4
对偶
顶点布局英语Vertex configuration

3.4.2.4

3.4.3.4

3.4.4.4

3.4.5.4

3.4.6.4

3.4.7.4英语Rhombitriheptagonal tiling

3.4.8.4

3.4.∞.4

偏方二十四面体

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晶体学中的偏方二十四面体。

偏方二十四面体为筝形二十四面体的一种变体,其拓朴结构与筝形二十四面体等价。筝形二十四面体与偏方二十四面体的拓朴结构皆与立方体每个面的正方形用两条垂直线分成四个小正方形的结果等价。其可以投影到正八面体上并将每个三角形面分成3个筝形。 在晶体学中,透过旋转其三面角所形成的变体称为dyakis dodecahedron[25][26]diploid[27],然而这些变体在中文文献中皆被称为偏方二十四面体[22]

八面体群英语Octahedral symmetry, Oh, 24阶 五角十二面体群英语Pyritohedral symmetry, Th, 12阶

筝形二十四面体图

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图论的数学领域中,与筝形二十四面体相关的图为筝形二十四面体图(Disdyakis Dodecahedral Graph),是筝形二十四面体之边与顶点的图英语1-skeleton[28],是一个阿基米德对偶图[29]

性质

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筝形二十四面体图有48条边和26个顶点,其中为3的顶点有8个、度为4的顶点有18个。[28]

特征多项式[28]

参见

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参考文献

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  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 23, Deltoidal icositetrahedron)
  1. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 286, tetragonal icosikaitetrahedron)
  2. ^ Conway, Symmetries of things[1], p.284-286
  3. ^ Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry (Dover Books on Mathematics). Dover Publications. 1971: p. 55. 
  4. ^ 4.0 4.1 Eric W. Weisstein. Deltoidal Icositetrahedron. 密歇根州立大学. 1999-05-26 [2019-09-01]. (原始内容存档于2013-05-28). 
  5. ^ V. Bulatov. deltoidal icositetrahedron. bulatov.org. 2009 [2019-09-02]. (原始内容存档于2017-12-06). 
  6. ^ David I. McCooey. Catalan Solids: Deltoidal Icositetrahedron. dmccooey.com. 2015 [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-02). 
  7. ^ Deltoidal Icositetrahedron Calculator. rechneronline.de. [2019-09-05]. (原始内容存档于2019-09-05). 
  8. ^ 8.0 8.1 Deltoidal icositetrahedron. fillygons.ch. [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-02). 
  9. ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002: p.700. ISBN 9781420035223. [失效链接]
  10. ^ Data of Deltoidal Icositetrahedron. dmccooey.com. [2019-09-02]. (原始内容存档于2017-08-27). 
  11. ^ 约翰·史坦布里奇英语John Stembridge. Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. [2019-09-05]. (原始内容存档于2018-02-10). 
  12. ^ 约翰·史坦布里奇英语John Stembridge. More Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. [2019-09-05]. (原始内容存档于2017-08-21). 
  13. ^ Kybos, Alea. Properties of Dice (PDF). [7 October 2012]. (原始内容 (PDF)存档于2012-05-28). 
  14. ^ Luo, Shaojuan and Yang, Dongning and Zhuang, Jianle and Ng, Ka Ming. Synthesis and characterization of nearly monodisperse deltoidal icositetrahedral In 2 O 3 nanocrystals via one-pot pyrolysis reaction. CrystEngComm (Royal Society of Chemistry). 2013, 15 (40): 8065––8068. 
  15. ^ The Trapezohedron. galleries.com. [2019-09-02]. (原始内容存档于2021-08-16). 
  16. ^ 16.0 16.1 Muhammad Talha Butt, Mineral Habits, Bahria university, 2009-05-18 
  17. ^ 偏方面體 trapezohedron. 国家教育研究院. [2019-09-01]. 
  18. ^ Weisstein, Eric W. Trapezohedron. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2022-06-14). 
  19. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
  20. ^ Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. 1976. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms。
  21. ^ Alain Darbellay. A study of MADAGASCAR GARNET. gggems.com. [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-08). 
  22. ^ 22.0 22.1 偏方二十四面體 diplohedron (diploid). 国家教育研究院. [2019-09-01]. (原始内容存档于2019-09-02). 
  23. ^ Weisstein, Eric W. Cube-Octahedron Compound. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2021-10-28). 
  24. ^ Weisstein, Eric W. Rhombicuboctahedron. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2022-05-06). 
  25. ^ Scott Sherman. Isohedron 24k. loki3.com. 2012 [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-02-18). 
  26. ^ Jaap Bax. The Isometric Crystal System. metafysica.nl. 2001-11-26 [2019-09-02]. (原始内容存档于2018-11-29). 
  27. ^ Steve Dutch. The 48 Special Crystal Forms. University of Wisconsin Green Bay. 2011-01-20 [2015-05-17]. (原始内容存档于2013-09-18). 
  28. ^ 28.0 28.1 28.2 Weisstein, Eric W. Deltoidal Icositetrahedral Graph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-09-05). 
  29. ^ Weisstein, Eric W. Archimedean Dual Graph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-09-05). 

外部链接

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