达布变换(Darboux Transformation)是1882年法国数学家达布发现的一种求偏微分方程精确显式解的变换法。达布变换在求KdV方程,MKdV方程,高维AKNS系统,sine-Gordon方程,sinh-Gordon方程,高阶Broer Kaup系统的精确解方面,有广泛用途。
1882年,达布研究一维薛定谔方程的特征值问题:[1]
![{\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -u(x)\phi =\lambda \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce74b7d6638ab6ad758ca9c531848c76f6b36bf7)
他发现作一个变换:
![{\displaystyle (u,\phi )\to (u',\phi ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c49cfb91ab72b5d6da476cb857bc03bd03a510)
其中
其中
是
时一维薛定谔方程的解,
则当
时,
和
必定满足另一个相关的一维薛定谔方程:
λ![{\displaystyle \phi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5304c739c4deec1d259e3235a419e6177fe77a)
达布变换也称为Bäcklund变换,其特点在于根据已知的一个解作为种子,经过变换之后,获得完全可积的新方程组,由此得出另一个新的解。[2]。
KdV方程的达布变换[编辑]
1977年Wahlquist等学者发现[3],达布变换也适用于KdV方程,从而将薛定谔方程的达布变换推广为KdV方程的达布变换[4]
KdV方程:
![{\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\phi \partial _{x}\phi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6b0d69c21d9c98c968cba458dc8f663b5af020)
是其LAX对的可积条件:
![{\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -u\phi =\lambda \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c599541ec04ab22cd3af4b5916aed0d18bcfc4)
![{\displaystyle \partial _{t}\phi =-4\partial _{x}^{3}\phi -6u\partial _{x}\phi -3\partial _{x}u\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2c2bee4d282566e0071a4b5380b646a6cf5586)
经过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')得到
![{\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi '-u'\phi =\lambda \phi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc129fdc9dc5acf1e2934630da1f8c93896eba0)
![{\displaystyle \partial _{t}\phi '=-4\partial _{x}^{3}\phi '-6u'\partial _{x}\phi '-3\partial _{x}u'\phi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bc4fcc4d69ae7d6f1e6c35233e7777ac11b415)
因此,只要从LAX对求得一个解
,然后通过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解,还可以不断进行连锁式达布变换(u,Φ)→(u',Φ')→(u,Φ)→(u,Φ)……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-3页上海科学技术出版社</ref>
矩阵形式[编辑]
几何应用[编辑]
负常曲率曲面[编辑]
负常曲率曲面
十九世纪八十年代发现一个负常曲率曲面是Sine-Gordon方程一个非零解,又发现通过Bäcklund变换可以从一个负常曲率曲面得到另一个负常曲率曲面[5]。
伪球线汇[编辑]
自对偶杨-米尔斯流[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ 谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》1-2页,上海科学技术出版社
- ^ 阎振亚《复杂非线性波的构造性理论及其应用》7页,科学出版社,2007年
- ^ Wahlquist et al, Bäcklund transformation for solitons of the Kortweg-de Vries Equation, Phys Rev Lett 1973,31:1386
- ^ 谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-4页上海科学技术出版社
- ^ 谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》160页上海科学技术出版社