变分法基本引理

在数学里，特别是在变分法里，变分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一种专门用来变换问题表述的引理，可以将问题从弱版表述（weak formulation）（变分形式）改变为强版表述（微分形式）。

叙述

$C^{k}$ 代表$k$阶导数连续（$k$阶光滑）的函数空间，$C^{\infty }$代表无限光滑的函数空间。

变分法基本引理：

设 $f(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!$

若任意 $h(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!$ 满足 $h(a)=h(b)=0\,\!$ 成立

$\int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0\,\!$

则 ${\mbox{∀}}x\in (a,\ b):f(x)=0\,\!$。

证明

设 $f(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!$ 且 $f(x)\neq 0\,\!$ ，

因为只要存在一个不满足 $\int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0\,\!$ 的 $h(x)$ ，就可以证明 $f(x)=0\,\!$ ，因此我们只须证明其中一个特例。

令 $r(x)\,\!$ 满足下列两个条件：

$r(a)=r(b)=0\,\!$ ；

${\mbox{∀}}x\in (a,\ b):r(x)>0\,\!$ ；

并且令 $h(x)=r(x)f(x)\,\!$。

由 $h(x)=r(x)f(x)\,\!$ 可得到

$0=\int _{a}^{b}f(x)h(x)\;dx=\int _{a}^{b}r(x)f(x)^{2}\;dx\,\!$ 。

因为 $r(x)\,\!$ 在 $(a,\ b)\,\!$ 是正值，所以$f(x)\,\!$ 必须恒等于 0 ，与假设 $f(x)\neq 0\,\!$ 矛盾。

故 ${\mbox{∀}}x\in (a,\ b):f(x)=0\,\!$ 。

应用

这引理可用来证明泛函

$J[f(t,y,{\dot {y}})]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t,y,{\dot {y}})\,dt\,\!$

的极值是欧拉-拉格朗日方程式

${d \over dt}\left({\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial {\dot {y}}}\right)-{\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial y}=0\,\!$

的弱解。

欧拉-拉格朗日方程式在经典力学和微分几何占有重要的角色。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿原理
• 泛函分析

参考文献

• Leitmann, George. The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer. 1981. ISBN 0306407078.