在范畴论中,米田引理断言一个对象
的性质由它所表示的函子
或
决定。此引理得名于日本数学家暨计算机科学家米田信夫。
设
为一范畴,定义两个函子范畴如下:
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\wedge }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}},\mathbf {Set} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d130364cd498ec396d9a8d6912c4df1c97f727)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\vee }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a66a5f8e0a06de1730309735dfb5e3c693ca82e)
并定义两个函子:
![{\displaystyle h_{\mathcal {C}}(X)=h_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e1cee42b11c64754e6c6713c3dfd42017e385b)
![{\displaystyle k_{\mathcal {C}}(X)=k_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae45788ea2073cac5c8aab9ea3df32a8edac1a4)
其中
而
。
米田引理的抽象陈述如下:
米田引理。有自然的同构
![{\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},A\in {\mathcal {C}}^{\wedge }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\wedge }}(h_{X},A)\simeq A(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0759a17928627fdc8c531bdfb126f87138ecf5)
![{\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},B\in {\mathcal {C}}^{\vee }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\vee }}(k_{X},B)\simeq B(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda11eb8e2531a6d60de05b947fb118785d57733)
这两个同构对所有变元
都满足函子性。
对任一对象
,在上述同构中分别取
,便得到米田引理最常见的形式:
推论。函子
与
是完全忠实的。
由上述推论,范畴中的对象
由它所表示的函子
或
唯一确定(至多差一个同调),这是可表函子理论的根基所在。例如在代数几何中,一个常见的技术是将概形等同于它所代表的函子,后者往往具有直观的几何诠释,技术上亦较容易处理;另一方面,我们也往往从函子的观点研究空间的商、极限或者是模空间问题,第一步是定义适当的“函子解”,其次再研究它可表与否。代数拓扑中的分类空间也是可表函子概念的体现。
- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490
外部链接[编辑]