泊松方程(法语:Équation de Poisson)是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程,因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。[1]
方程的叙述[编辑]
泊松方程为
![{\displaystyle \Delta \varphi =f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78b7e5915cbba73986bd67d0e836dea9bce532a)
在这里
代表的是拉普拉斯算子,而
和
可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间,而拉普拉斯算子通常表示为
,因此泊松方程通常写成
![{\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66b1762dad29817722df3c923e9e6ec29ba1b89)
在三维直角坐标系,可以写成
![{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974dfffb801d29eb9df825bd52833b2034b27c99)
如果有
恒等于0,这个方程就会变成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程”。
![{\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f656635a093e1be0dbd3053eb97df87a2302409)
泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。现在也发展出很多种数值解,如松弛法(一种迭代法)。
数学表达[编辑]
通常泊松方程表示为
![{\displaystyle -\Delta \varphi =f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433da28046a914a022f1a3350967c8bdb678428c)
这里
代表拉普拉斯算子,
为已知函数,而
为未知函数。当
时,这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息,比如狄利克雷边界条件:
![{\displaystyle {\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7586b7ed1c6b404e228096f7cacedc90cb88d859)
其中
为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基础函数为:
![{\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0698f8b87463ef344ee6e02f9c494a09be907b6f)
其中
为n维欧几里得空间中单位球面的体积,此时可通过卷积
得到
的解。
为了使方程满足上述边界条件,我们使用格林函数
![{\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3d4d79fdd3375fc7c7a0fc7b449074f1be2da1)
为一个校正函数,它满足
![{\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0019c9c405bea458e894cecc507d5aa8d1fac6b1)
通常情况下
是依赖于
。
通过
可以给出上述边界条件的解
![{\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b72229d10c4b05665926b4e314555e97dce2205)
其中
表示
上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
静电学[编辑]
在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电势的问题。在国际单位制(SI)中:
![{\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211a21364d15fa72f91430ea8ce648633c52d129)
此
代表电势(单位为伏特),
是体电荷密度(单位为库仑/立方米),而
是真空电容率(单位为法拉/米)。
如果空间中有某区域没有带电粒子,则
![{\displaystyle \rho =0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc7a4198bf768984915d90cf8fee25a94382eff)
此方程就变成拉普拉斯方程:
![{\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527b11a928265a6dd42895b54ff89692abb7b0a3)
高斯电荷分布的电场[编辑]
如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度
:
![{\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4326947594f778f7b1bc214add6dd809e72ce5d)
此处,Q代表总电荷
此泊松方程:
的解Φ(r)则为
![{\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946df27ee056172d7d9c9f65c5c3a595fd2dbb7e)
erf(x)代表的是误差函数.
注意:如果r远大于σ,erf(x)趋近于1,而电场Φ(r)趋近点电荷电场
;正如我们所预期的。
参考文献[编辑]
- Poisson Equation (页面存档备份,存于互联网档案馆) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
外部链接[编辑]