在数学中,同伦群是拓扑空间的一种同伦不变量。同伦群的研究是同伦理论的基石之一,一般空间的同伦群极难计算,即使对球面
的情形,至今也没有完整结果。
设
为拓扑空间而
为
维球面。选定基点
。定义
为
,也就是由保持基点的连续映射
的同伦类构成的集合。为了方便起见,以纬垂坐标表示球面上的点,即:
表示
在商映射
下的像。取
的基点为
。
注意到当
时,
而
的元素一一对应到
的连通分支。
基本群的群运算
对于
,
带有自然的群结构:首先,我们构造一个连续映射:
![{\displaystyle s:S^{n}\to S^{n}\vee S^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b0a2c9d97c1a01b1370760788280cb2525ad31)
在此
定义为将两份
沿基点黏合得到的拓扑空间。映射
定义为
![{\displaystyle s(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n})={\begin{cases}x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (1-2x_{n}),&x_{n}\leq {\frac {1}{2}}\\x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (2x_{n}-1),&x_{n}\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85207c9eaa91c4f632b74c67b21694c5db45569d)
直观来看,
的效应相当于将球面
沿赤道掐扁。
给定
,我们定义
,由于
,此函数有完善的定义。此外也不难验证
仅依赖于
的同伦类。
可以证明运算
满足群公理,其单位元素为常值映射
。
不外就是基本群;而当
时,
是阿贝尔群,称为高阶同伦群。不同基点对应的同伦群只差一个自然同构。
若在定义中省掉基点,则得到的集合
等同于
在
作用下的轨道集。可见若
,
未必有自然的群结构。
纤维化导出长正合序列[编辑]
设
为保基点的塞尔纤维化,纤维的同伦类定义为
。此时可导出同伦群的长正合序列(以下略去基点):
![{\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to \pi (B)\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e084f193d9fa13aac941ab0937f50578ef454216)
尽管这里的
只是个集合,而
未必是阿贝尔群,它们仍带有特殊的元素(
的单位元、
中包含基点的连通分支),可以用这些元素定义正合序列。
纤维化映射是计算高阶同伦群的基本手段。
相对同伦群[编辑]
给定
,可以定义相对同伦群
为映射
的同伦类,这意味着我们仅考虑满足
的连续映射,以及其间满足相同限制的同伦。若取
为一点,便回到同伦群的原始定义。相对同伦群也有纤维化长正合序列。