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动量映射

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数学,尤其在辛几何中,动量映射是一个与辛流形上的李群哈密顿作用有关的工具,可用于构造作用的守恒量。动量映射推广了经典的 动量和角动量。它在各种辛流形的建立中是一个重要的部分,包括将会在后面讨论的symplectic (Marsden–Weinstein) quotients,以及symplectic cuts和sums

正式定义

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M 是一个配有辛形式 ω 的流形。假定一个李群 G 通过辛同胚作用在 M 上(也就是每个 G 中的 g 保持 ω )。令 G 上的李代数 是它的对偶,且令

是两者间的pairing。任一中的ξ诱导了 M 上的一个向量场 ρ(ξ) 以描述ξ的无限小作用。更精确地说,向量场 M上一点x

其中 指数映射并且 表示 M 上的 G-作用。[1] 表示 向量场与 ω 的缩并。由于 G 通过辛同胚作用,它意味着对于 中所有的ξ,闭形式

一个在(M,ω)上的 G-作用的动量映射是一个映射 ,对于 中所有的ξ满足

。这里 是通过 定义的从 MR 的函数。动量映射在差一个积分的常数的程度上是唯一定义的。

一个动量映射经常也要求是 G-等价的,这里 G 通过余伴随作用作用在 上。如果群是紧的或半单的,那么总是选择积分常数使动量映射是余伴随等价的; 但是通常余伴随作用必须被修正以使映射等价(this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in ,as first described by Souriau (1970).

哈密顿群作用

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动量映射的定义要求 闭形式。在实际中一个更强的假定是有用的。G-作用被称作是哈密顿的当且仅当当以下的条件满足。首先,对于 中的每一个ξ,1-形式 是恰当的,这意味着它对于一些光滑函数

等于 。 如果这成立,那么我们可以选择 使映射 为线性。第二个使G-作用是哈密顿的要求是映射 是一个从 M泊松括号下的光滑函数的代数的李代数同态。

如果 G 在(M,ω)上的作用在这个意义上是哈密顿的,那么一个动量映射是映射 ,这样 定义了一个李代数同态 满足 . 这里 是一个由哈密顿函数 通过

定义的向量场。

例子

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In the case of a Hamiltonian action of the circle G = U(1),the Lie algebra dual is naturally identified with R,and the 动量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when M is the cotangent bundle of R3 and G is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is,G is a six-dimensional group,the semidirect product of SO(3) and R3. The six components of the 动量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

Symplectic quotients

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Suppose that the action of a compact Lie group G on the symplectic manifold (M,ω) is Hamiltonian,as defined above,with 动量映射 . From the Hamiltonian condition it follows that is invariant under G.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that G acts freely and properly on . Thus and its quotient are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from M; that is,there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to equals the restriction of ω to . Thus the quotient is a symplectic manifold,called the Marsden–Weinstein quotientsymplectic quotient or symplectic reduction of M by G and is denoted . Its dimension equals the dimension of M minus twice the dimension of G.

参见

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注释

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  1. ^ The vector field ρ(ξ) is called sometimes the Killing vector field relative to the action of the one-parameter subgroup generated by ξ. See,for instance,(Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977)

参考资料

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  • J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques, Ma?trises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN 0750-2435.
  • S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.
  • Dusa McDuff and Dietmar Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
  • Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile, Analysis, Manifolds and Physics, Amsterdam: Elsevier, 1977, ISBN 978-0-7204-0494-4 
  • Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction. Progress in Mathematics 222. Birkhauser Boston. 2004. ISBN 0-8176-4307-9.