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二重向量

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线性代数
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向量外积与二重向量

几何中,以一般化的观点来说,标量是零维的几何量,向量是一维的有向几何量,依此类推,我们可以有二维的有向几何量。几何代数中的外代数(exterior algebra)采用了这个一般化的观点定义了二重向量(bivector)。一个二重向量亦即二维的有向几何量,它是一个有向面积。

二重向量是使用外积(exterior product)来产生的:令 ab 为向量,它们的外积 ab 即为一个二重向量,代表由 ab 围成的平行四边形面积,其方向为 ab 的时针方向。所以,外积是反对称的,ab 的方向恰与 ba 相反。另外,aa 是一个“零二重向量”。

有时候,三维的二重向量被拿来当作一种伪向量

二重向量与二维的复数以及三维的伪向量和四元数相关。 它们可用于生成任意维度的旋转,并且是对此类旋转进行分类的有用工具。

历史

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德国数学家赫尔曼·格拉斯曼于1844年的《线性外代数》论文中,将二重向量以二向量外积的方式介绍出来。同时期,爱尔兰数学家威廉·哈密顿于1843年发表了四元数。1888年,英国数学家威廉·金顿·克利福德结合二者并发表了克利福德代数,二重向量才被完整的了解,而成为今日的面貌。

参考

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