数学上,下限拓扑是定义在实数集
上的拓扑。其不同于
上的标准拓扑(由开区间生成),且具有若干有趣的性质。其为全体半开区间 [a,b) 组成的基生成的拓扑,其中 a 和 b 取遍任意实数。
这样得到的拓扑空间称为Sorgenfrey直线(得名自 Robert Sorgenfrey)或箭头,有时记为
. 与康托集和长直线类似,Sorgenfrey 直线也经常作为点集拓扑学中不少似是而非的命题的反例。
与自身的积也是有用的反例,称为Sorgenfrey平面。
类似地,可以定义
上的上限拓扑,其性质与下限拓扑完全相同。
- 下限拓扑比实数集的标准拓扑更精细(具有更多开集)。原因是每个开区间都可写成半开区间的可数并,故在下限拓扑中也是开集。
- 对任意实数
和
, 区间
都是
的闭开集(既是开集,也是闭集)。而且,对任意实数
, 集合
和
皆为闭开集。故
为完全不连通空间。
的紧子集只能是可数集(允许是有限集)。要证明此结论,考虑非空紧集
. 取定
, 考虑
的开覆盖:
![{\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d2b4394ee2b14ffe9ce0818f3b44ccfa373d51)
- 由于
为紧,此开覆盖具有有限子覆盖,故存在实数
使得区间
不含
除
以外的点。这对任意
为真。现选取有理数
. 对不同的
, 区间
两两不交,故函数
为单射,故
至多可数。
- “下限拓扑”得名自以下性质:
中的序列(或网)
收敛到
当且仅当其“从右接近
”,即对任意的
,均存在下标
使得
.
因此可用于研究单侧极限:对函数
,
于
之右极限(假定陪域具有标准拓扑),等于定义域在下限拓扑下
于
之一般极限。
- 就分离公理而言,
是完美正规豪斯多夫空间(T6 空间)。
- 就可数性公理而言,
是第一可数空间和可分空间,但并非第二可数空间。
- 就紧致性而言,
是林德勒夫空间和仿紧空间,但并非σ-紧空间,也不是局部紧空间。
不可度量化,因为可分的度量空间必为第二可数。然而,
的拓扑是由一个预度量给出。
是一个贝尔空间 [1]。
参考资料[编辑]