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非传递博弈

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非传递博弈是一个通过多种策略得到一个或者更多“循环”选择的博弈。在非传递博弈中,如果策略A优于策略B,策略B优于策略C,并不能推导出策略A优于策略C。

非传递博弈的雏形是剪刀、石头、布。在概率博弈(probabilistic games)中,比如赌便士英语Penney's game以一种更微妙的方式违反传递律,常常被表述为一个概率悖论(probability paradox)。

例子

一些非传递博弈的例子:

  • 剪刀、石头、布
  • 赌便士英语Penney's game
  • 非传递骰子英语Nontransitive dice
  • 加州侧斑蜥蜴 (side-blotched lizard),雄性蜥蜴喉咙橘色黄色蓝色三种,橘喉蜥蜴采用侵略策略,地盘范围大,地盘内有许多蜥蜴。黄喉蜥蜴则采用偷偷摸摸策略来反制,趁着橘喉蜥蜴一不注意,就溜进去橘喉蜥蜴的地盘和雌蜥蜴交配。但黄喉蜥蜴的策略又会被蓝喉蜥蜴破解,因为蓝喉蜥蜴生性妒忌,而且设下的地盘较小,后宫嫔妃少,陌生蜥蜴休想暗地偷情。然而,橘喉蜥蜴又会直接侵略蓝喉蜥蜴的地盘,掠夺蓝喉蜥蜴的妻妾。如此一来,三者之间形成美丽的对称。
  • 合作者搭便车者独处者的“三难”选择:
    • 独处者不加入团体,只能得到一小笔钱。
    • 自愿加入团体,成为合作者,就能得到比较大的奖励。
    • 自愿加入团体再选择作弊而成为搭便车者,赢得的奖励则又更大。
    • 但如果太多人选择当搭便车者,则合作者和搭便车者得到的奖励都会大减,反而还不如当个独处者。
  • 以下的三种细菌族群
    • A族群能产生天然的抗菌物质大肠杆菌素”,但本身对这种抗菌物质免疫。
    • B族群对大肠杆菌素很敏感,但生长的速度比C族群快。
    • C族群则能够抵抗大肠杆菌素。

那么,在培养皿中,A族群能杀死附近的B族群,B族群则能靠着生长速度来排挤C族群,而C族群又能靠着自体免疫力来排挤A族群!

  • 假定以下四人各有一粒骰子,要两两相互比大小,掷出较大点数者获胜,各人的骰子每面分别为:

此时,如果我们让路人乙和路人甲比赛,会有以下四种结果:

  • 5比4,路人乙胜(几率
  • 5比3,路人乙胜(几率
  • 0比4,路人甲胜(几率
  • 0比3,路人甲胜(几率

因此,赌局对路人乙有利,她赢的几率为

类似的分析可知:路人甲胜路人丙,几率,路人丙胜路人丁,几率,但这并不表示路人乙一定也可以打败路人丁,因为,若真叫两人上场比赛,怪的是,路人丁会有的几率获胜!

这说明了几率的不可递移性。

更经典的例子是下列三人的骰子:

三人各有的几率打败另一人。(路人庚打败路人戊,路人戊打败路人己,而路人己又能打败路人庚)

  • 也有超过两个立场相互对抗的情况,假定以下七人各有一粒骰子,要三个三个相互比大小,掷出最大点数者获胜,各人的骰子每面分别为:
    • 小丸子: 7, 7, 10, 10, 16, 16
    • 小玉: 6, 6, 8, 8, 19, 19
    • 花轮: 5, 5, 13, 13, 15, 15
    • 美环: 4, 4, 11, 11, 18, 18
    • 丸尾: 3, 3, 9, 9, 21, 21
    • 滨崎: 2, 2, 14, 14, 17, 17
    • 野口: 1, 1, 12, 12, 20, 20

则我们可以发现小丸子能打败小玉、花轮、丸尾;小玉能打败花轮、美环、滨崎;花轮能打败美环、丸尾、野口;美环能打败小丸子、丸尾、滨崎;丸尾能打败小玉、滨崎、野口;滨崎能打败小丸子、花轮、野口;野口能打败小丸子、小玉、美环(各有的几率)。因此,对于任意两人,都有第三个人同时能够打败他们!

  • 或者是以下五人的骰子:
    • 两津:4, 4, 4, 4, 4, 9
    • 大原:3, 3, 3, 3, 8, 8
    • 本田:2, 2, 2, 7, 7, 7
    • 中川:1, 1, 6, 6, 6, 6
    • 丽子:0, 5, 5, 5, 5, 5

则:

  1. 两津打败大原,大原打败本田,本田打败中川,中川打败丽子,丽子打败两津。
  2. 两津打败本田,本田打败丽子,丽子打败大原,大园打败中川,中川打败两津。

因此,对于当中的任意两人,都有第三个人同时能够打败他们。

参考资料

  • Martin Gardner, "The Colossal Book of Mathematics", W.W. Norton & Company (2001).