一个无阻尼弹簧 - 质量体系统构成一个简谐振子。
经典力学中,一个谐振子(英语:harmonic oscillator)乃一个系统,当其从平衡位置位移,会感受到一个恢复力
正比于位移
,并遵守胡克定律:
![{\displaystyle F=-kx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ab50da294be7a22dc7b7eaa377c610c8bb4dea)
其中
是一个正值常数。
如果
是系统仅受的力,则系统称作简谐振子(简单和谐振子)。而其进行简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动,且振幅与频率都是常数(频率跟振幅无关)。
若同时存在一摩擦力正比于速度,则会存在阻尼现象,称这谐振子为阻尼振子。在这样的情形,振动频率小于无阻尼情形,且振幅随着时间减小。
若同时存在跟时间相关的外力,谐振子则称作是受驱振子。
力学上的例子包括了单摆(限于小角度位移之近似)、连接到弹簧的质量体,以及声学系统。其他的相类系统包括了电学谐振子(electrical harmonic oscillator,参见RLC电路)。
简谐振子[编辑]
简谐振子没有驱动力,也没有摩擦(阻尼),所以合力单纯为:
![{\displaystyle F=-kx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ab50da294be7a22dc7b7eaa377c610c8bb4dea)
利用牛顿第二定律
![{\displaystyle F=ma=-kx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6988e81d9ba8271a17aa447309a26f6cf16f8f)
则加速度
等于是
的二次微分导数:
![{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fd729b234963e5ae6f5b173aef7af496a2f72e)
若定义
,则方程可以写为如下:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d7d362eeaf153c22bf1c5b8e1bdabe651faeae)
可以观察到:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1d1d7f4eed7c6e1ea0e4a8e898a18e1a24c220)
然后代回原式得到
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7e3dfefb34f03707f19a9826394684efc3697c)
![{\displaystyle \mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf8cc3e88d15771285f8000f5b9275a25cb5b85)
积分可得
![{\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996f30aacbfe6c7659740426caa23aa5b30c24dc)
其中K是积分常数,设K = (A ω0)2
![{\displaystyle {\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98492ed95049767c2e8dd8a825ed51d32bfac911)
![{\displaystyle {\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07887ffaf0cf6f54cd07427f71507c24f8a94b9f)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d8dcc66a8a2a11891a58a2c7266f5cd4956fc1)
经过积分,结果(包括积分常数φ)为
![{\displaystyle {\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6b9385085dba8d1b43631b5331bb7429667088)
并有一般解
![{\displaystyle x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a1680de97e57b994626237b22b5bb75856ad7e)
其中振幅
以及相位
可透过初始条件来决定。
另外也可以将一般解写成
![{\displaystyle x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d129cb49e0c84ac9df4d2d05dbec4490a2606b2)
其中
的值与前面形式相比,偏移了
;
又可以写作
![{\displaystyle x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4dfbcbceea9612eafad10fc045559948cd34a0)
其中
与
为透过初始条件决定的常数,以替代前面形式的
与
。
振动频率则为
![{\displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b424c596ccade161035722f3d8c12ca4448c5ea)
动能为
.
以及势能(势能)为
![{\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088586042b83c7741e1f10f7efaebed4a94ccc09)
所以系统总能为定值:
![{\displaystyle E={\frac {1}{2}}kA^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f86c2462d4299c53ed352655ff63ae9f8b9535)
受驱谐振子[编辑]
一受驱谐振子满足如下非齐次(nonhomogeneous)二阶线性微分方程
,
其中
是驱动振幅而
是驱动频率,针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC(电感L-电容C)电路以及理想化的弹簧系统(没有内部力学阻力或外部的空气阻力)。
阻尼谐振子[编辑]
一阻尼谐振子满足如下二阶微分方程
,
其中
是由实验决定的阻尼常数,满足关系式
。遵守此方程的系统,其中一例为置于水中的加权弹簧(weighted spring),若假设水所施的阻尼力与速度
呈线性比例关系。
阻尼谐振子的频率为
![{\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-R_{m}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e37562b359d78c73b3dfa83621e0b1c0a2403c)
其中
。
受驱阻尼振子[编辑]
受驱阻尼振子满足方程
。
其一般解为两个解的和,一为暂态解(无驱动阻尼谐振子之齐次常微分方程的解),与初始条件相关;另一为稳态解(非齐次常微分方程之特殊解),与初始条件无关,只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。
稳态解为
![{\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a047966b7e5dcad3021ae062b56f6ebf8c9f0e)
其中
![{\displaystyle Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ce054143e7598e9c9a5367ebe70d6a079a6540)
为阻抗(impedance)或线性响应函数(linear response function)之绝对值
![{\displaystyle Z=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e06864dcd9312f1751449d58382ccd9f7729df)
而
![{\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810085c128da10a0989ca318ba449f96f766c400)
为相对于驱动力(相位定为0)的振动相位。
可以观察到,当在某特定驱动频率
时,振子振动之振幅(相对于一给定之
)达到最大。这发生在频率为
![{\displaystyle {\omega }_{r}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-2\left({\frac {r}{2m}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322c6319f9fb421b24f5e7601919efe214d8f1dc)
之时,而此现象称之为(位移上的)共振。
总结来说,在稳态时,振动频率等同于驱动力的频率,但振动与驱动力在相位上有偏移;且振幅大小与驱动频率相关,当驱动频率与振动系统偏好(共振)频率相同时,振幅达到最大。
例子:RLC电路;电阻类比于阻尼。
完整数学描述[编辑]
多数谐振子,至少近似上地说,是在解以下的微分方程:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ceb585edbaf898def1ce2e4f8357af82a86a80)
其中t是时间,b是阻尼常数,ωo是本征角频率,而Aocos(ωt)代表驱动系统的某种事物,其振幅Ao而角频率ω。x是进行振荡的被测量量;可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关,关系式为
。
重要项[编辑]
- 振幅:偏离平衡点的最大的位移量。
- 周期:系统完成一个振荡循环所需的时间,为频率的倒数。
- 频率:单位时间内系统执行的循环总数量(通常以赫兹 = 1/秒为量度)。
- 角频率:
![{\displaystyle \omega =2\pi f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1bf35d395c2d52391265e4bbda0aed14f52579)
- 相位:系统完成了循环的多少(开始时,系统的相位为零;完成了循环的一半时,系统的相位为
)。
- 初始条件:t = 0时系统的状态。