在量子力学里,一个粒子因为自旋与轨道运动而产生的作用,称为自旋-轨道作用(英语:Spin–orbit interaction),也称作自旋-轨道效应或自旋-轨道耦合。最著名的例子是电子能级的位移。电子移动经过原子核的电场时,会产生电磁作用.电子的自旋与这电磁作用的耦合,形成了自旋-轨道作用。谱线分裂实验明显地侦测到电子能级的位移,证实了自旋-轨道作用理论的正确性。另外一个类似的例子是原子核壳层模型能级的位移。
半导体或其它新颖材料常常会涉及电子的自旋-轨道效应。自旋电子学专门研究与应用这方面的问题。
电子的自旋-轨道作用[编辑]
在这篇文章里,会以相当简单与公式化的方式,详细地讲解一个束缚于原子内的电子的自旋-轨道作用理论。这会用到电磁学、非相对论性量子力学、一阶摄动理论。这自旋-轨道作用理论给出的答案,虽然与实验结果并不完全相同,但相当的符合。更严谨的导引应该从狄拉克方程开始,也会求得相同的答案。若想得到更准确的答案,则必须用量子电动力学来计算微小的修正。这两种方法都在本条目范围之外。
虽然在原子核的静止参考系 (rest frame) ,并没有作用在电子上的磁场;在电子的静止参考系,有作用在电子上的磁场存在。暂时假设电子的静止参考系为惯性参考系,则根据狭义相对论[1],磁场
是
;(1)
其中,
是电子的速度,
是电子运动经过的电场,
是光速。
以质子的位置为原点,则从质子产生的电场是
;
其中,
是质子数量(原子序数),
是单位电荷量,
是真空电容率,
是径向单位向量,
是径向距离,径向向量
是电子的位置。
电子的动量
是
;
其中,
是电子的质量。
所以,作用于电子的磁场是
;(2)
其中,
是角动量,
。
是一个正值因子乘以
,也就是说,磁场与电子的轨道角动量平行。
电子自旋的磁矩
是
;
其中,
是旋磁比 (gyromagnetic ratio) ,
是自旋角动量,
是朗德g因子,
是电荷量。
电子的朗德g因子(g-factor)是
,电荷量是
。所以,
。(3)
电子的磁矩与自旋反平行。
哈密顿量摄动项目[编辑]
自旋-轨道作用的哈密顿量摄动项目是
。
代入
的公式 (3) 和
的公式(2),经过一番运算,可以得到
![{\displaystyle H'={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c014d856b2f47c95a6a443e01b6de5ec5e32a120)
一直到现在,都还没有考虑到电子静止坐标乃非惯性坐标。这事实引发的效应称为托马斯进动 (Thomas precession) 。因为这效应,必须添加因子
在公式里。所以,
。
能级位移[编辑]
在准备好了自旋-轨道作用的哈密顿量摄动项目以后,现在可以估算这项目会造成的能量位移。特别地,想要找到
的本征函数形成的基底,使
能够对角化。为了找到这基底,先定义总角动量算符
:
。
总角动量算符与自己的内积是
。
所以,
。
请注意
与
互相不对易,
与
互相不对易。读者可以很容易地证明这两个事实。由于这两个事实,
与
的共同本征函数不能被当做零摄动波函数,用来计算一阶能量位移
。
与
的共同本征函数也不能被当做零摄动波函数,用来计算一阶能量位移
。可是,
、
、
、
,这四个算符都互相对易。
、
、
、
,这四个算符也都互相对易。所以,
、
、
、
,这四个算符的共同本征函数
可以被当做零摄动波函数,用来计算一阶能量位移
;其中,
是主量子数,
是总角量子数,
是角量子数,
是自旋量子数。这一组本征函数所形成的基底,就是想要寻找的基底。这共同本征函数
的
的期望值是
;
其中,电子的自旋
。
经过一番繁琐的运算[2],可以得到
的期望值
;
其中,
是玻尔半径。
将这两个期望值的公式代入,能级位移是
。
经过一番运算,可以得到
;
其中,
是主量子数为
的零摄动能级。
特别注意,当
时,这方程会遇到除以零的不可定义运算;虽然分子项目
也等于零。零除以零,仍旧无法计算这方程的值。很幸运地,在精细结构能量摄动的计算里,这不可定义问题自动地会消失。事实上,当
时,电子的轨道运动是球对称的。这可以从电子的波函数的角部分观察出来,
球谐函数是
,
由于完全跟角度无关,角动量也是零,电子并不会感觉到任何磁场,所以,电子的
轨道没有自旋-轨道作用。
参考文献[编辑]
- ^ French, A. P. Special Relativity (The M.I.T Introductory Physics Series). W. W. Norton & Company, Inc. 1968: pp. 237–250. ISBN 0748764224.
- ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 266–276. ISBN 0-13-111892-7.
外部链接[编辑]