在数学中,相交是两个几何图形之间关系的一种。两个图形相交是指它们有公共的部分,或者说同时属于两者的点的集合不是空集。若两个几何图形在某个地方有且只有一个交点,则可以称为相切而不是相交。如果两个图形完全重合,则一般不称为相交。
集合论中,两个集合相交是指它们的交集不是空集。
直线的相交[编辑]
在欧几里得平面上,两条直线要么平行,要么相交,要么重合。这时欧几里得第五公设的推论。相交的两条直线恰好有一个交点。在非欧几何中,按几何特性(曲率),可以分为两类。罗巴切夫斯基几何中两条直线要么平行,要么相交,但平行线不止一条。黎曼几何中两条直线总是相交。
三维空间或更高维空间中,两条直线相交则必定共面。
圆的相交[编辑]
欧几里得几何中,同一平面上的两个圆之间的关系有四种:相离、相切、相容和相交。相离指两圆没有交点而且没有一个圆在另一个圆内部。相切是指两圆只有一个交点。相交是指两圆有多于一个交点。相容是指两圆没有交点且一个圆在另一个内部。
两个圆相交当且仅当两个圆心之间的距离严格小于两圆的半径之和,并严格大于两圆的半径之差。
解析几何中的判别方法[编辑]
在平面解析几何中,设两条直线的方程为:
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ a_{1}x+b_{1}y=c_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0f106d250c5f0d1ee9995206941986cb33a84c)
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa75ac02c36e199b78ea580ed1eba309b67be13)
那么
与
相交当且仅当行列式:
不等于零。
对于两圆相交,设两个圆的方程是:
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1}):\,\ (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb34d0c07656cf71adce64dd0253d2a38de65e0)
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2}):\,\ (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05213e16818971e8c7433e435ce29478217a5c0)
那么
与
相交当且仅当:
![{\displaystyle |r_{1}-r_{2}|<{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}<|r_{1}+r_{2}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95aaa8be51f3af1ab47ee1db92c26fac471cdf2d)
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ 3x+5y=18}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1741eddd253fbae8d7c832bff6b32a60056693)
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ 6x-y=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154581a0aecb11f5ddd6666ec040eb3f4f67fb4c)
由于行列式:
,两直线相交。交点为
。
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ 3x+5y=18}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1741eddd253fbae8d7c832bff6b32a60056693)
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ 6x+10y=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53afed922065a17d7a34f37b193f941618daa43)
由于行列式:
,两直线不相交(实际上平行)。
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1}):\,\ (x-1)^{2}+(y+4)^{2}=6^{2}=36}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861860626c375540d8e684f3c516616231998eee)
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2}):\,\ (x+3)^{2}+(y+1)^{2}=2^{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc7daeb978f3607a33ae8be4383518c641b9d9e)
这时两个圆心的距离是:
,
,因此两圆相交。
参考来源[编辑]