明渠流

长江瞿塘峡，河流是明渠流的一种

明渠流（英语：open-channel flow）是水力学的分支，是液体在管道或水路中的流动，而且液体存在自由表面，包括未全满的液体在管道中流动，则称为管流。 流体的重量是这种流体的主要驱动来源。

流的状态

明渠流的行为是由粘滞力和重力以及流体本身的惯性所控制。表面张力有一些影响，不过在大部分的应用中，表面张力不是主要影响因素。由于流体有自由表面，明渠流中重力多半是最重要影响明渠流的因素。惯力和重力的比例就是明渠流里最重要旳无因次量，此无因次量称为福禄数 ，定义为$${\text{Fr}}={U \over {\sqrt {gD}}}$$

其中

• $U$是平均速度
• $D$是表示渠深度的特征长度
• $g$为重力加速度。

粘滞力相对惯性力的影响可以用雷诺数表示，流体可以分为层流、湍流和过渡流。不过一般会假设其雷诺数够大，流体的粘滞力可以忽略，流体本身会是湍流。

公式

可以用针对质量、动量和能量的守恒定律来描述明渠流。其统御方程可以从考虑流速向量场${\bf {v}}$（分量${\bf {v}}={\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}}^{T}$）的动态方程求得。在笛卡儿坐标系下，这些分量对应x轴、y轴和z轴的流速。

为了简化最后的公式，会进行以下的假设：

1. 流是不可压缩流（若是快速变化的流，此假设就不合适)
2. 雷诺数够大，粘滞扩散可以忽略
3. 流是沿着x轴的一维流

连续性方程式

通用的连续性方程式描述质量的守恒，其形式如下：$${\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0$$其中$\rho$是流体密度，$\nabla \cdot ()$是散度算子。假设不可压缩流，有固定的控制体积 $V$，方程可以表示为$\nabla \cdot {\bf {v}}=0$。不过，明渠流的截面$A$可能会随着时间和位置而变化。若从连续性方程式的积分形开始：$${d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV$$可以将体积积分分解成截面和长度，因此可以得到下式：$${d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx$$在流体不可压缩、一维流的假设下，方程式可以写成：$${d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx$$利用$\int _{A}dA=A$并且定义体积流率 $Q=\int _{A}u\;dA$, 方程式可以简化如下：$$\int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx$$最后，可以得到不可压缩、一维明渠流的方程：

${\partial A \over {\partial t}}+{\partial Q \over {\partial x}}=0$

动量方程

明渠流的动量方程可以从不可压缩的纳维-斯托克斯方程开始：$$\overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}$$其中$p$是压强，$\nu$是动黏度，$\Delta$是拉普拉斯算子，而$\Phi =gz$ 是重力位。配合高雷诺数以及一维流的假设，可得以下方程：$${\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}$$第二个方程中有流体静压$p=\rho g\zeta$，而渠深度$\eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)$ 是自由表面$\zeta$和渠底$z_{b}$的距离。将此代入第一个方程，可得：$${\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}$$where the channel bed slope $S=-dz_{b}/dx$。若要考虑渠道上的剪应力,可以定义受力项为：$$F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}$$其中$\tau$为剪应力，$R$为水力半径。定义摩擦斜率$S_{f}=\tau /\rho gR$，是量化摩擦损失的方式，可以得到以下的动量方程式：

${\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}+g(S_{f}-S)=0$

能量方程式

若要推导能量方程式，考虑平流加速度项${\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}$可以分解如下：$${\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}$$其中$\omega$是流的涡量，$\|\cdot \|$是欧几里得范数。这可以得到一个不考虑外部力的动量方程，为：$${\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)$$将方程两侧对${\bf {v}}$进行点积，可得：$${\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0$$其中有利用三重积 ${\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0$。定义$E$为能量密度：$$E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}$$注意其中的 $\Phi$是非时变的。可以得到下式：$${\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0$$假设能量密度是非时变的，且流是一维流，可以简化如下：$$E+p=C$$with $C$为常数，这和伯努利定律等效。明渠流中特别关注的是比能 $e=E/\rho g$，可以计算扬程 $h$，定义如下：

${\begin{aligned}h&=e+{p \over {\rho g}}\\&={u^{2} \over {2g}}+z+{p \over {\gamma }}\end{aligned}}$

其中 $\gamma =\rho g$是比重量。不过，实际系统需加上扬程损失项 $h_{f}$，这是考虑因为摩擦力和湍流产生的能量耗散，之前因为在动量方程不考虑外力，这些被省略了。

相关条目

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