反正割 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Arcsec.svg/220px-Arcsec.svg.png) |
性质 |
奇偶性 | 非奇非偶 |
定义域 | [1] |
到达域 | ![{\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq {\frac {\pi }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8409f3d648246c86a8e276b7d43e5247e1a11868)
|
周期 | N/A |
特定值 |
当x=0 | 不存在[注 1] |
当x=+∞ | ![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) (90°) |
当x=-∞ | ![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) (90°) |
当x=1 | 0 |
当x=-1 | ![{\displaystyle \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a) (180°) |
其他性质 |
渐近线 | ![{\displaystyle y={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e87ca1ef270affbc8230d1a1b4a0e11fa7c2ac) (y=90°) |
反正割(英语:arcsecant[3]、记为:
或
)是一种反三角函数[4],对应的三角函数为正割函数,用来计算已知斜边与邻边的比值求出其夹角大小的函数,是高等数学中的一种基本特殊函数,其输入值与反余弦互为倒数。
由于正割函数在实数上不具有一一对应的关系,所以不存在反函数,但我们可以限制其定义域,因此,反正割是单射也是可逆的,由于限制正割函数的定义域在
([0, 180°])时,其值域是全体实数,但在区间
不存在。
反正割一般记为
[5]或
[6][7][8][9],以表示正割的反函数。也有以大写书写的版本Arcsec z[10]和Sec-1 z一般用于表示多值函数[6]。在符号
上的上标-1是表示反函数,而不是乘法逆元素。但根据ISO 31-11应将反正切函数记为
,因为
可能会与
混淆,
是余弦函数。
原始的定义是将正割函数限制在
([0, 180°])的反函数
在复变分析中,反正割是这样定义的:
![{\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db72622481c5ba220f46f7c4a3100409160dbf6)
这个动作使反正割被推广到复数。
下图表示推广到复数的反正割复数平面函数图形,可以见到图中央有一条明显的横线正好是实数中未被定义的区间[-1,1]。
拓展到复数的反正割函数
直角三角形中[编辑]
在直角三角形中,反正割定义为已知斜边c与邻边b比值对应的
的大小,也就是:
![{\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79a73fb8cc56d8fdba22ecc9663a821fcf3d7a2)
此外在直角三角形中,若已知斜边为
且邻边为单位长,
代入反正割可求得对应的角的大小:
![{\displaystyle \sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16081e662b8761aecfd6b230421ebb55c043ed5)
因此,根据毕氏定理可以使反正割利用其他反三角函数表示:
![{\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbce032133bca9e8dafce265c1d6899eaed69fa)
![{\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0040c47bc0f30ede745dd69cbba3f7617903de2e)
![{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd4e1be74accd58745afbe540cb3eb7375a0cde)
直角坐标系中[编辑]
若
是平面直角坐标系xOy中的一个未知的象限角,
是角的终边上一点,
是P到原点O的距离,若已知
,则可利用反正割求得未知的象限角
:
![{\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9551ce12ef1ed7505e944522c63d0c22917576b5)
级数定义[编辑]
反正割函数可以使用无穷级数定义:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64761e73f4238c32bdd180b393f18cfc458298fa)
反正割函数的泰勒展开式为:
![{\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48393d92a4fee580f92249a0450b17217d5dbfe)
- ^ 由于反正割在x=0未定义,因此考虑复变反正割函数,[2]但由在x=0时于左极限不等于右极限,因此也不存在极限因此Arcsec 0不存在。
参考文献[编辑]
- ^ Weisstein, Eric W. "Inverse Secant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ^ 反正割在x=0的极限 wolframalpha.com [2014-08-08]
- ^ 反正割arcsecant-学术名词资讯 (页面存档备份,存于互联网档案馆) 国家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07]
- ^ Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.
- ^ Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.
- ^ 6.0 6.1 Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing (页面存档备份,存于互联网档案馆). New York: Dover, pp. 79-83, 1972.
- ^ Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science (页面存档备份,存于互联网档案馆). New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.
- ^ Jeffrey, A. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, 2000.
- ^ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
- ^ Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987.
外部链接[编辑]