在数学中,有许多定理称为单调收敛定理(英语:Monotone convergence theorem);这里我们介绍一些主要的例子。
单调实数序列的收敛性[编辑]
如果ak是一个单调的实数序列(例如ak ≤ ak+1),则这个序列具有极限(如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话)。当且仅当序列是有界的,这个极限是有限的。
我们证明如果递增序列
有上界,则它是收敛的,且它的极限为
。
由于
非空且有上界,因此根据实数的最小上界公理,
存在,且是有限的。现在,对于每一个
,都存在一个
,使得
,否则
是
的一个上界,这与
为最小上界
的事实矛盾。于是,由于
是递增的,对于所有的n > N,都有
,因此根据定义,
的极限为
。证毕。
类似地,如果一个实数序列是递减且有下界,则它的最大下界就是它的极限。
如果对于所有的自然数j和k,aj,k都是非负实数,且aj,k ≤ aj+1,k,则(参见[1]第168页):
![{\displaystyle \lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab76bd35a0a891615364e049f9baffa70649a0fd)
勒贝格单调收敛定理[编辑]
这个定理是前一个定理的推广,也许就是最重要的单调收敛定理。
设( X, A,
)为一个测度空间。若序列
为定义域是
,对应域是
的
-可测单调递增函数序列。也就是说
,有
。
接着,设序列
的逐点极限为
。也就是说
。
则
会是
-可测函数,且:
。(参见[2]第21.38节)
注意其积分值不一定是有限值,也就是左右两边可能都是无限大。
我们首先证明f是
-可测函数。为此,只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的σ代数A的一个元素。设I为
的一个子区间。那么:
。
另一方面,由于[0,t]是闭区间,因此:
。
所以:
。
注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素,这是因为它是一个波莱尔子集在
-可测函数
下的原像。由于根据定义,σ代数在可数交集下封闭,因此这便证明了f是
-可测的。需要注意的是,一般来说,任何可测函数的最小上界也是可测的。
现在我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是
-可测的事实,意味着表达式
是定义良好的。
我们从证明
开始。
根据勒贝格积分的定义,
,
其中SF是X上的
-可测简单函数的交集。由于在每一个
,都有
,我们便有:
![{\displaystyle \left\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f_{k}\right\}\subseteq \left\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fdf405a5d867d35e9ca02932aeb51d93da00c4)
因此,由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界,我们便有:
右面的极限存在,因为序列是单调的。
我们现在证明另一个方向的不等式(也可从法图引理推出),也就是说,我们来证明:
![{\displaystyle \int fd\mu \leq \lim _{k}\int f_{k}d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba266337406e20c0c9a9f8d9d29becbbba60ef16)
从积分的定义可以推出,存在一个非负简单函数的非递减序列gn,它几乎处处逐点收敛于f,且:
![{\displaystyle \lim _{k}\int g_{k}d\mu =\int fd\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506291f0dfa8992cac53aaa329040e7fac572aa7)
只需证明对于每一个
,都有:
![{\displaystyle \int g_{k}d\mu \leq \lim _{j}\int f_{j}d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5985cd8c4a4cf8911df5dd1dd4c4cf915a6b7e8)
这是因为如果这对每一个k都成立,那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。
我们证明如果gk是简单函数,且
![{\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g_{k}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f83f6637330c3ceba149f543b1b6075899df66)
几乎处处,则:
![{\displaystyle \lim _{j}\int f_{j}d\mu \geq \int g_{k}d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bea7efbe374dfdd1f912b2c60abe5cccbf2f4d9)
由于积分是线性的,我们可以把函数
分拆成它的常数部分,化为
是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下,我们假设
是一个可测函数的序列,它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。
为了证明这个结果,固定
,并定义可测集合的序列:
![{\displaystyle B_{n}=\{x\in B:f_{n}(x)\geq 1-\epsilon \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767c5688adbff180e9435d47f4569cd0d9c31567)
根据积分的单调性,可以推出对于任何的
,都有:
![{\displaystyle \mu (B_{n})(1-\epsilon )=\int (1-\epsilon )1_{B_{n}}d\mu \leq \int f_{n}d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68b86771f89d9cf4550d55fa4595df665c36035)
根据
的假设,对于足够大的n,任何B内的x都将位于
内,因此:
。
所以,我们有:
![{\displaystyle \int g_{k}d\mu =\int 1_{B}d\mu =\mu (B)=\mu (\bigcup _{n}B_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415d549592f37c68c179c8a97a511f02d8eb685c)
利用测度的单调性,可得:
![{\displaystyle \mu (\bigcup _{n}B_{n})=\lim _{n}\mu (B_{n})\leq \lim _{n}(1-\epsilon )^{-1}\int f_{n}d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368ba5f963d94c176b3ef1469aff74fe16b086ae)
取
,并利用这对任何正数
都正确的事实,定理便得证。
- ^ J Yeh. Real analysis. Theory of measure and integration. 2006.
- ^ Erik Schechter. 21.38. Analysis and Its Foundations. 1997.