在抽象代数里,一个域
的子集
若被称做代数无关于一子域
的话,表示
内的元素都不符合系数包含在
内的非平凡多项式。这表示任何以
内元素排成的有限序列
(没有两个是一样的)和任一系数包含在
的非零多项式
,都会得到:
![{\displaystyle P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ce71a3c80b10afa6e80c2384a4c6739aa673ff)
特别的是,单元素集合
若是代数无关于
的话,当且仅当
会是
内的超越数或超越函数。一般而言,和于
代数无关集合的所有元素也必然会是
内的超越数或超越函数,但反之则不必然。
举例来说,实数
的子集
并不代数无关于有理数
,当存在一非零多项式:
![{\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df7a00982331b797b7a9ce1dc08857e06c39860)
代入
和
代入
时会变成
。
林德曼-魏尔斯特拉斯定理时常用做证明某些函数会代数无关于有理数:当
为线性无关于有理数的代数数时,
便会代数无关于有理数。
现在依然没有证明出集合
是否代数无关于有理数。Nesterenko在1996年证明了
是代数无关于有理数的。
给定一域扩张
,我们可以利用佐恩引理来证明总是存在一
的最大代数无关子集于
。甚至,所有个最大代数无关子集都会有相同的基数,称之为此一域扩张的超越次数。