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abc猜想

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abc猜想(英語:abc conjecture)是一個未解決的數學猜想,最先由約瑟夫·奧斯特萊大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述,c是a及b的和,猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明,經過8年同行審查後於2020年4月發表,但對於該證明的正確性仍存在極大爭議。對此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證,數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。(Goldfeld 1996)

內容

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對正整數表示質因數,稱為根基(radical)。例如

rad(16) = rad(24) = 2,
rad(17) = 17,
rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6,
rad(1000000) = rad(26 ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數a, b, c 彼此互質,且a + b=c,「通常」會有c < rad(abc),例如:

, ,
, ,

但是也有反例,例如:

, , :因為,故此

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除,使rad(abc) < c,是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想(一)

對於任何,只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,使得

abc猜想也有以下等價的表述方式:

abc猜想(二)

對於任何,存在常數,使得對於互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,有:

abc猜想第三個表述方式,用到了三元組(a, b, c)的品質(quality),定義為:

例如:

  • q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
  • q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組,通常有 rad(abc) > c,因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想(三)

對於任何,只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,使得

abc猜想中的ε不能去掉,不然命題就不成立。考慮以下例子:

, ,

這三個正整數互質,且有。注意到可被整除,因此有

:

因此

n趨向無限大時,也趨向無限大。因此不存在常數C,使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

可得出的結果

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如果abc猜想得證,那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果,在abc猜想提出後,已經以其他方法得到證明,一些則仍然為猜想。

理論結果

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abc猜想導出cabc的根基的接近線性函數的上界;不過,現在已知的是指數上界。確切結果如下:

(Stewart & Tijdeman 1986),
(Stewart & Yu 1991),
(Stewart & Yu 2001).

上述的上界中,K1是不依賴a, b, c的常數,而K2K3是(以可有效計算的方式)依賴於ε的常數,但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

計算結果

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2006年,荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作,開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統,目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想,但是期望藉着這個計劃發現的三元組的模式,可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質

符合q > 1的三元組分佈[4]
  q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4
c < 102 6 4 4 2 0 0
c < 103 31 17 14 8 3 1
c < 104 120 74 50 22 8 3
c < 105 418 240 152 51 13 6
c < 106 1,268 667 379 102 29 11
c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17
c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25
c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34
c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51
c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64
c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74
c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84
c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98
c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112
c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126
c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143
c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160

截至2014年4月 (2014-04),ABC@Home找出 2380 萬個三元組,現今目標在找出c不大於263的所有三元組(a,b,c)。[5]

已知之中最高品質的三元組[6]
  q a b c 發現者
1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat
2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger
3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger

歷史

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1996年,艾倫·貝克(Alan Baker)提出一個較為精確的猜想,將取代,在此的不同質因數的數目。

2007年,呂西安·施皮羅嘗試給出證明,後來被發現有錯誤。[7]

2012年8月,日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明,以他建立的宇宙際泰赫米勒理論(inter-universal Teichmüller theory)為基礎[8][9][10]。該證明目前正由其他數學專家檢查中。[11]當Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月發現一處錯誤時,望月新一在他的網站確認了此錯誤,並聲稱這個錯誤能夠在近期修補,不會影響最後的結果[12]。2012年12月,望月新一在自己主頁貼出了自己對所有四篇文章的修改稿。主要包含27條重要的修改。2012年12月-2013年2月,他又屢次對文章進行了修訂,新修正了18處錯誤,當中很多也是打字錯誤[13]。望月新一在網上公開了2013年[14]以及2014年[15]的檢驗進度報告。2018年8月,皮特·舒爾策Jakob Stix英語Jakob Stix指出,望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。[16]望月認為二者的批評存在「某種根本上的誤解」。[17]

參見

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參考文獻

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引用

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  1. ^ 存档副本 (PDF). [2014-09-29]. (原始內容 (PDF)存檔於2009-02-05). 
  2. ^ Mollin (2009)
  3. ^ Mollin (2010) p.297
  4. ^ Synthese resultaten, RekenMeeMetABC.nl, [October 3, 2012], (原始內容存檔於2008年12月22日)  (荷蘭文).
  5. ^ Data collected sofar, ABC@Home, [April 30, 2014], (原始內容存檔於2014年5月15日) 
  6. ^ 100 unbeaten triples. Reken mee met ABC. 2010-11-07 [2014-10-28]. (原始內容存檔於2014-10-25). 
  7. ^ "Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See Woit, Peter, Proof of the abc Conjecture?, Not Even Wrong, May 26, 2007 [2014-10-28], (原始內容存檔於2014-10-28) .
  8. ^ Mochizuki, Shinichi. Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations (PDF). Working Paper. August 2012 [2012-09-20]. (原始內容 (PDF)存檔於2016-12-28). 
  9. ^ Ball, Phillip, Proof claimed for deep connection between primes, Nature, 10 September 2012 [2012-09-12], (原始內容存檔於2012-09-12) .
  10. ^ Cipra, Barry, ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot, Science, September 12, 2012 [2012年9月20日], (原始內容存檔於2012年9月16日) .
  11. ^ Proof claimed for deep connection between primes. [2012-09-12]. (原始內容存檔於2012-09-12). 
  12. ^ Kevin Hartnett. An ABC proof too tough even for mathematicians. Boston Globe. 3 November 2012 [2013-03-30]. (原始內容存檔於2013-03-26). 
  13. ^ 宇宙几何学家望月新一与ABC猜想 (故事续集). [2013-06-15]. (原始內容存檔於2014-08-22). 
  14. ^ On the verification of the inter-universal Teichmüller theory: a progress report (as of December 2013) (PDF). [2014-09-29]. (原始內容存檔 (PDF)於2014-09-13). 
  15. ^ 存档副本 (PDF). [2015-01-17]. (原始內容存檔 (PDF)於2015-01-22). 
  16. ^ 望月新一的 ABC 猜想证明被认为存在无法修复的漏洞. www.solidot.org. [2018-10-10]. (原始內容存檔於2018-10-11). 
  17. ^ ABC猜想证明或有误 黎曼假设或被证明. www.solidot.org. [2018-10-10]. (原始內容存檔於2018-10-11). 

來源

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外部連結

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