零測集

謝爾賓斯基三角形是由$\mathbb {R} ^{2}$中的點構成的零測集

在數學分析中，零測集（英語：Null set）是一個測度為0的可測集，它可以被可數個測度為任意小的開區間的併集覆蓋的集合。

零測集的概念不應與集合論中定義的空集混淆。空集的勒貝格測度為0，但也存在非空集的測度為0。例如，任何非空的可數實數集的勒貝格測度為零，因此它為零測集。

更一般的，給定測度空間$M=\left(X,\Sigma ,\mu \right)$，零測集$S\in \Sigma$滿足$\mu (S)=0$。

例子

實數的有限或可數無限子集都是零測集。例如自然數集合和有理數集合都是實數集的可數無限子集，因此它們是零測集。

康托爾集是一個不可數的零測集。

定義

設$A$是實數集$\mathbb {R}$的子集，滿足

$\forall \varepsilon >0,\ \exists \left\{U_{n}\right\}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ \land \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|U_{n}\right|<\varepsilon \,,$

其中$U_{n}$表示區間，$|U|$是區間$U$的長度，則$A$是零測集。

在數學分析的術語中，這個定義要求存在$A$的開覆蓋序列，該序列覆蓋長度的極限收斂到0。

性質

• 空集總是零測集。
• 可數個零測集的併集是零測集。
• 零測集的任何一個可測子集是零測集。

應用

零測集在勒貝格積分的定義中起到了關鍵作用。如果函數f和函數g除一個零測集以外處處相等，則f可積若且唯若g可積，並且二者的積分相等。這使Lp空間定義為除零測集外均為同一類函數的集合。