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重尾分佈

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概率論中,重尾分佈(英語:Heavy-tailed distribution)是一種概率分佈的模型,它的尾部比指數分佈還要厚。在許多狀況中,通常右邊尾部的分佈會比較受到重視,但左邊尾部比較厚,或是兩邊尾部都很厚的狀況,也會被認為是一種重尾分佈。

重尾分佈之中,又有兩個子類型,分別稱為長尾分佈(long-tailed distributions)以及次指數分佈(subexponential distributions)。

定義

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重尾分佈

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在一個累積分佈函數中,一個隨機變量 X 的分佈狀況,在以下狀況時,被稱為是一個重尾分佈。假設:

如果以尾部分佈函數的方式來呈現時,

最後可以被寫成:

這相當於一個動差生成函數 F, MF(t) ,對所有的t > 0 來說,都是無限的[1]

重尾分佈的左尾,與雙尾分佈,定義相同。

長尾分佈

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在一個累積分佈函數中,一個隨機變量 X 的分佈,出現以下狀況時,被稱為是一個長尾分佈。假設對所有t > 0 :

這相等於

對一個右尾部形成長尾分佈的狀況,我們可以做一個直觀的解釋:假如一個長尾分佈的尾部數量超過某個很高的水準,它超過另一個更高水準的概率會接近於一。也就是說,如果你發現狀況很糟,它可能會比你想像的還要糟。

長尾分佈是重尾分佈中的一個特例。所有的長尾分佈都是重尾分佈,但反之則不然,也就是說,我們可以找出某一個重尾分佈,它不是長尾分佈。

次指數分佈

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次指數分佈是以概率分佈摺積定義出來的。兩個獨立、不同的隨機變數 的共同分佈函數 ,它自己的摺積定義為 ,使用勒貝格-史台傑斯積分(Lebesgue–Stieltjes integration) 定義為:

n-fold摺積的 也以同樣方式定義。其尾端分佈函數 定義為

當以下式子成立,概率分佈函數在正的中線(positive half-line)上,被定義為次指數分佈:

這也意味着,對所有 來說:

註釋

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  1. ^ Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, Stochastic Processes for Insurance and Finance, 1999