超越三角函數是自然對數的一種延伸,也是歐拉公式的擴充,其中每個超越三角函數都違反原來對三角函數的定義。
超越單位三角函數[編輯]
由李昂哈德·歐拉對複數的定義得知:
![{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b697198af2e7ace6cc64c8c6c4aca34e9860bb41)
當
時,得知:
![{\displaystyle i^{i}=\cos ln(i)+i\sin ln(i)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d9c0df120fec3ed60a42ffce46ce7957620b5a)
![{\displaystyle i^{-i}=\cos ln(i)-i\sin ln(i)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e061f41cd39ef311a334706e64312f25e94815)
再因為
![{\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b514fee442a4d54d7111893bd78e342233e0e5b8)
- =>
![{\displaystyle e^{\frac {i\pi }{2}}=i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdeb49f1d21db3e5db4e0cf166c59beb140e524c)
- =>
![{\displaystyle e^{\frac {\pi }{2}}=i^{-i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5702e5f001cba3e6636a588e17052448eb18f682)
所以得出下列結論:
![{\displaystyle i^{i}=e^{\frac {-\pi }{2}}=\cos ln(i)+i\sin ln(i)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0f91035ccd0d0032d3b2689a164a91f1db3ca0)
![{\displaystyle i^{-i}=e^{\frac {\pi }{2}}=\cos ln(i)-i\sin ln(i)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122c938708b80f646a7ccff9c74426964467201b)
解聯立方程解得
![{\displaystyle cos[ln(i)]={\frac {exp({\frac {\pi }{2}})+exp({\frac {-\pi }{2}})}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e9effb003d6826a77a67c51e56693fae3f5b15)
![{\displaystyle sin[ln(i)]={\frac {exp({\frac {\pi }{2}})-exp({\frac {-\pi }{2}})}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ec8ccbc5af63a232dfa64ca67b748b682dc8d7)
發現
明顯超越了1,這代表了斜邊比鄰邊還短,違反了當初對實數係的三角函數的定義域,所以這稱為對虛數係的三角函數
超越三角函數[編輯]
延伸後可得:
![{\displaystyle cos[xln(i)]={\frac {exp({\frac {x\pi }{2}})+exp({\frac {-x\pi }{2}})}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49993a51faf20f6b665837d348ea8b1092874845)
![{\displaystyle sin[xln(i)]={\frac {exp({\frac {x\pi }{2}})-exp({\frac {-x\pi }{2}})}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7cb6c9c3ca04276c7d62f86b6da7f4e2bda631)
複數悖論與數學單位形成[編輯]
將超越三角函數以三度空間方式作圖,X軸為自變數,Y軸為變數之實部,Z軸為變數之虛部,可以發現超越三角函數都是以4為一週期的函數圖形,但是最後會發現一件怪異之處
![{\displaystyle 2ni{\pi }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3fdb8953c0dd5c9719786ce00175c6403584a1)
這對一般數學是不成立的,但是為何有合理的解釋?
如果說一般數的單位是│µ│(單位向量),歐拉對虛數的冪可見
此單位是rad‧│µ│,如此2π等同於0的意思,那悖論也就被打破了。