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菲茨休-南雲方程

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當刺激電流強度I=0.5時,膜電位對於時間的函數。
藍線為菲茨休-南雲模型在相空間中的軌跡,粉線為三次零斜率線英語nullcline,黃線為線性零斜率線。這裏的刺激電流強度被設為0.5。

菲茨休-南雲方程(Fitzhugh-Nagumo equation)是一個非線性偏微分方程,最早由理查德·菲茨休(Richard FitzHugh)於1961年提出[1],描述了在高於閾值的常電流刺激下神經元動作電位的周期性振盪[2]。當時菲茨休將其稱為「朋霍費爾-范德波爾模型(Bonhoeffer-van der Pol model)」。次年,南雲仁一等人也提出了一個與該方程等效的電路[3]。該方程為霍奇金-赫胥黎模型英語Hodgkin-Huxley model的二維情形[4];後者因揭示了槍烏賊巨大軸突動作電位的產生和傳導機制而分享了1963年的諾貝爾生理學或醫學獎

方程

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用於描述槍烏賊巨大軸突中動作電位的菲茨休-南雲方程如下[4]

其中,膜電位為回復變量,刺激電流的強度。該方程的一般形式可寫作:

其中為三次多項式;a,b,c為常數。

行波解

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菲茨休-南雲方程行波解的動畫

菲茨休 - 南雲方程的解析解如下:

[5]

利用Maple軟件包TWSolution可得以下行波解[6][注 1]

相關條目

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註釋

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  1. ^ 行波解可通過使用Tanh函數展開法得到的方程組來實現[7]
    u(x, t) = 1/2+(1/2)*tanh(_C1+(1/4)*sqrt(2)*x-(1/4)*t)
    u(x, t) = 1/2+(1/2)*tanh(_C1-(1/4)*sqrt(2)*x-(1/4)*t)
    u(x, t) = 1/2-(1/2)*tanh(_C1-(1/4)*sqrt(2)*x+(1/4)*t)
    u(x, t) = 1/2-(1/2)*tanh(_C1+(1/4)*sqrt(2)*x+(1/4)*t)

參考文獻

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  1. ^ FitzHugh, Richard. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane. Biophysical Journal. 1961-07, 1 (6): 445–466. doi:10.1016/S0006-3495(61)86902-6. 
  2. ^ Griffiths, Graham. Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations : Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple.. Burlington: Elsevier Science. : 147-172. ISBN 9780123846532. 
  3. ^ Nagumo, J.; Arimoto, S.; Yoshizawa, S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon. Proceedings of the IRE. 1962-10, 50 (10): 2061–2070. doi:10.1109/JRPROC.1962.288235. 
  4. ^ 4.0 4.1 Izhikevich, Eugene; FitzHugh, Richard. FitzHugh-Nagumo model. Scholarpedia. 2006, 1 (9): 1349. doi:10.4249/scholarpedia.1349. 
  5. ^ Griffiths, Graham. Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations : Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple.. Burlington: Elsevier Science. : 166. ISBN 9780123846532. 
  6. ^ Griffiths, Graham. Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations : Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple.. Burlington: Elsevier Science. : 436. ISBN 9780123846532. 
  7. ^ Wazwaz, Abdul-Majid. The tanh method for traveling wave solutions of nonlinear equations. Applied Mathematics and Computation. 2004-07, 154 (3): 713–723. doi:10.1016/S0096-3003(03)00745-8. 

拓展閱讀

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  • 谷超豪 《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》 上海科學技術出版社
  • 閻振亞著 《複雜非線性波的構造性理論及其應用》 科學出版社 2007年
  • 李志斌編著 《非線性數學物理方程的行波解》 科學出版社
  • 王東明著 《消去法及其應用》 科學出版社 2002
  • 何青 王麗芬編著 《Maple 教程》 科學出版社 2010 ISBN 9787030177445
  • Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
  • Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
  • Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
  • Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
  • Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
  • Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
  • David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
  • George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759