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等冪求和

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等冪求和,即法烏爾哈貝爾公式(英語:Faulhaber's formula),是指求冪數相同的變數之和

常見公式

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  • 三角形數
  • 正方形數
  • 調和級數

一般數列的等冪和

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自然數等冪和

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[1]

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,其中,當m−k為大於1的奇數時,

[2],其中伯努利數

[3]

奇數等冪和與偶數等冪和

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多項式求和

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伯努利數也通用於等差數列的等冪和。[4]

也可以利用帕斯卡矩陣,把多項式的和寫成矩陣相乘。

[5] [6] [7]

其中

也可以將數列表達成組合數然後利用朱世傑恆等式求和。

[8]

多項式根的等冪和

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牛頓公式

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[9]

組合公式

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參見

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參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 李政豐. 連續整數冪次和公式的另類思考 (PDF). 《數學傳播》 (臺北市: 中央研究院數學研究所). 2002-06, 26 (2): 頁73–74,76 [2021-12-16]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-12-16) (中文(臺灣)). 
  2. ^ 談祥柏. 伯努利数. 科學. 1999, (4) [2014-04-18]. (原始內容存檔於2019-06-10). 
  3. ^ 羅見今. 《垛积比类》内容分析. 內蒙古師範大學學報(自然科學漢文版). 1982, (1) [2015-03-29]. (原始內容存檔於2019-06-08). 
  4. ^ 金晶 楊婷娜 朱偉義. 等差数列前n项等幂和计算公式及算法实现. 渭南師範學院學報. 2012, (2) [2015-09-20]. (原始內容存檔於2019-06-09). 
  5. ^ 陶家元. 高阶等差数列的前n项求和. 成都大學學報(自然科學版). 1999, (1) [2016-05-18]. (原始內容存檔於2020-01-15). 
  6. ^ 黃婷 車茂林 彭傑 張莉. 自然数幂和通项公式证明的新方法. 內江師範學院學報. 2011, (8) [2014-03-30]. (原始內容存檔於2020-02-12). 
  7. ^ 黃嘉威. 方幂和及其推广和式. 數學學習與研究. 2016, (7) [2016-05-17]. (原始內容存檔於2020-01-15). 
  8. ^ 田達武. 朱世杰恒等式及其应用. 數學教學通訊. 2009, (36) [2014-05-24]. (原始內容存檔於2020-01-15). 
  9. ^ 沈南山. 牛顿(Newton)公式的一个注记及其应用. 數學通報. 2005, (3) [2014-03-20]. (原始內容存檔於2019-06-08).