線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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在線性代數裏,正定矩陣(英語:positive-definite matrix)是埃爾米特矩陣的一種,有時會簡稱為正定陣。在線性代數中,正定矩陣的性質類似複數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性算子是對稱正定雙線性形式(複域中則對應埃爾米特正定雙線性形式)。
一個
的實對稱矩陣
是正定的,當且僅當對於所有的非零實系數向量
,都有
。其中
表示
的轉置。對於複數的情況,定義則為:一個
的埃爾米特矩陣
是正定的當且僅當對於每個非零的複向量
,都有
。其中
表示
的共軛轉置。
這樣的定義仰賴一個事實:對於任意的埃爾米特矩陣
及複向量
,
必定是實數。
正定矩陣[編輯]
對於
的埃爾米特矩陣
,下列性質與「
為正定矩陣」等價:
的所有的特徵值
都是正的。 根據
譜定理,
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
與一個實
對角矩陣
相似(也就是說
![{\displaystyle M=U^{-1}DU}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b492cffc6e01da48c730c6f52a21b13d7c3f9cd)
,其中
![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
是
么正矩陣,或者說
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
在某個
正交基可以表示為一個實
對角矩陣)。因此,
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
是正定陣當且僅當相應的
![{\displaystyle D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
的對角線上元素都是正的。 另外,也可以假設
![{\displaystyle \lambda _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fde940918edf84caf3d406cc7d31949166820f)
和
![{\displaystyle \mathbf {v} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51747274b58895dd357bb270ba1b5cb71e4fa355)
是
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
的一組特徵值與特徵向量,根據定義
![{\displaystyle M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73fd74c01d82f7c2ac691a01311ff226b9befc4b)
,從左側同乘以
得到:
![{\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}^{*}\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d58c5aa9eaea0dd0ea4fa6504c6efd097b602b)
。因為
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
是正定矩陣,根據定義我們有
![{\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/788f4170e906003e4966a5eb396a8bf802338651)
。移項整理後可以得到
![{\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mathbf {v} ^{*}M\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992615a656d13c54e039ed00d8449b28541c7c07)
。注意因為特徵向量
![{\displaystyle \mathbf {v} _{i}\neq \mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b234ecef7760dfbb26e85b128ea926e17fa3b3c)
,所以前述
![{\displaystyle \lambda _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fde940918edf84caf3d406cc7d31949166820f)
不會有無解的情形。
- 半雙線性形式
定義了一個
上的內積。實際上,所有
上的內積都可視為由某個正定矩陣通過此種方式得到。
是向量
構成的格拉姆矩陣,其中
。更精確地說,
定義為:
。換句話說,
具有
的形式,其中
不一定是方陣,但必須是單射的。
的所有順序主子式,也就是順序主子陣的行列式都是正的(西爾維斯特準則)。明確地說,就是考察
左上角大小
的子矩陣的行列式。對於半正定矩陣而言,相應的條件應改為所有的主子式非負。但順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子: ![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d2a456ccbe65bb08a2c96069b96d6ae6b6cd9d)
- 存在唯一的下三角矩陣
,其主對角線上的元素全是正的,使得
。其中
是
的共軛轉置。這一分解被稱為科列斯基分解。
對於實對稱矩陣,只需將上述性質中的
改為
,並將「共軛轉置」改為「轉置」即可。
二次型[編輯]
由以上的第二個等價條件,可以得到二次型形式下正定矩陣的等價條件:用
代表
或
,設
是
上的一個向量空間。一個埃爾米特型:
![{\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843de2b7c7221cc40fc361ac79d83948e00b00b0)
是一個雙線性映射,使得
總是
的共軛。這樣的一個映射
是正定的當且僅當對於
中所有的非零向量
,都有
。
負定、半定及不定矩陣[編輯]
與正定矩陣對應,一個
的埃爾米特矩陣
是負定矩陣(英語:negative-definite matrix)當且僅當對所有非零向量
(或
),都有
。
是半正定矩陣(英語:positive semi-definite matrix)當且僅當對於所有非零向量
(或
),都有
。
是半負定矩陣(英語:negative semi-definite matrix)當且僅當對於所有非零向量
(或
),都有
。
如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的,那麼稱其為不定矩陣(英語:indefinite matrix)。
可以看出,上一節中正定矩陣的第一個等價性質只需作出相應改動,就可以變為判別負定矩陣、半正定矩陣和半負定矩陣的準則。注意當
是半正定時,相應的格拉姆矩陣不必由線性獨立的向量組成。對於任意矩陣
,
必是半正定的,並有
(兩者的秩相等)。反過來,任意的半正定矩陣都可以寫作
,這就是科列斯基分解。
一個埃爾米特矩陣
是負定矩陣當且僅當
的所有奇數階順序主子式小於
,所有偶數階順序主子式大於
。當
是負定矩陣時,
的逆矩陣也是負定的。
相關性質[編輯]
若
為半正定矩陣,可以記作
。如果
是正定矩陣,可以記作
。這個記法來自泛函分析,其中的正定矩陣定義了正算子。
對於一般的埃爾米特矩陣,
、
,
當且僅當
。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關係。類似地,可以定義
。
1. |
每個正定陣都是可逆的,它的逆也是正定陣。如果 那麼 。
|
2. |
如果 是正定陣, 為正實數,那麼 也是正定陣。
如果 、 是正定陣,那麼 、 與 都是正定的。如果 ,那麼 仍是正定陣。
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3. |
如果 那麼主對角線上的元素 為正實數。於是有 。此外還有
。
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4. |
矩陣 是正定陣當且僅當存在唯一的正定陣 使得 。根據其唯一性可以記作 ,稱 為 的平方根。對半正定陣也有類似結論。同時,如果 那麼 。
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5. |
如果 那麼 ,其中 表示克羅內克積。
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6. |
對矩陣 ,將兩者同一位置上的系數相乘所得的矩陣記為 ,即 ,稱為 與 的 阿達馬乘積。如果 ,那麼 。如果 為實係數矩陣,則以下不等式成立:
。
|
7. |
設 , 為埃爾米特矩陣。如果 (相應地, ),那麼 (相應地, )。
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8. |
如果 為實系數矩陣,則 。
|
9. |
如果 為實系數矩陣,那麼存在 使得 ,其中 為單位矩陣。
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非埃爾米特矩陣的情況[編輯]
一個實矩陣
可能滿足對於所有的非零實向量
,
,卻不是對稱矩陣。舉例來說,矩陣
就滿足這個條件。對於
並且
,
。
一般來說,一個實系數矩陣
滿足對所有非零實向量
,
,當且僅當對稱矩陣
是正定矩陣。
對於複系數矩陣,情況可能會不太一樣。主要考慮如何擴展
這一性質。要使得
總為實數,矩陣
必須是埃爾米特矩陣。因此,若
總是正實數,
必然是正定的埃爾米特矩陣。如果將
擴展為
,則等價於
為正定矩陣。
參考資料[編輯]
- Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
- Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.
外部連結[編輯]