在線性代數和泛函分析的數學領域中,內積空間 V 的子空間 W 的正交補餘(英語:orthogonal complement)
是正交於 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合,也就是
![{\displaystyle W^{\bot }=\left\{\,x\in V:\forall y\in W,\langle x,y\rangle =0\,\right\}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc47dd85482c2f37ae809599737954de4846049)
正交補餘總是閉合在度量拓撲下。在希爾伯特空間中,W 的正交補餘的正交補餘是 W 的閉包,就是說
![{\displaystyle W^{\bot \,\bot }={\overline {W}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d87eb7737b488d047fd7e48f54c17c8bd6f2d74)
如果 A 是
矩陣,而
,
和
分別指稱列空間、行空間和零空間,則有
![{\displaystyle (\mathrm {Row} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c390408168ec6b341f7c0d239b6bca55e88b4c)
和
![{\displaystyle (\mathrm {Col} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffc7976196798ec041d973dcb5b048dd0c0837d)
巴拿赫空間[編輯]
在一般的巴拿赫空間中有自然的類似物。在這種情況下類似的定義 W 的正交補餘為 V 的對偶的子空間
![{\displaystyle W^{\bot }=\left\{\,x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\,\right\}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d179f67cbea9709d4779f59a17b6dd0010b9eb)
它總是
的閉合子空間。它也有類似的雙重補性質。
現在是
的子空間(它同一於
)。但是自反空間有在
和
之間的自然同構
。在這種情況下我們有
![{\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\bot \,\bot }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56c787902d201cbf7025b1ff05b401446833bc6)
這是哈恩-巴拿赫定理的直接推論。