在數學上,以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積,是指兩組數列
的離散卷積。
![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398c98db070e6215552309fd6e44b8c1b5741c1a)
該數列乘積被認為是自然數
的半群環的元素。
一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數(不需要收斂)
:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff28010de5494108873e54ebf27eb2b0499cd72)
一般地,對於實數和複數,柯西乘積定義為如下的離散卷積形式:
- 這裏
![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a30aacf4867c11c9bb7e72aa645b35c02c5186)
「形式」是指我們對級數運算時不考慮是否收斂,參見形式冪級數。
人們希望,通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推,得到無窮級數
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660636efa7996ec54b9d206684855b65e814eca4)
等於如下乘積:
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090833008298d01d002a7405f58e3441888e4baa)
就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。
在充分良態的情況下,上述式子成立。而更重要的一點,儘管這兩個無窮級數可能不收斂,它們的柯西乘積仍可能存在。
有窮級數[編輯]
對於
、
,有
,
即為有窮級數,則
和
柯西乘積可以展開為
,因此可以直接計算乘積。
無窮級數[編輯]
- 對某些
,構造
和
,由定義和二項式展開可知:
![{\displaystyle C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463285eb78027f2549a9badace0c2549e915a0bd)
形式上,
,
,我們已表明
。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積,(見下面的證明),因此我們就可證明這個表達式對於
有
- 另外一個例子,令
(
),則
對所有
成立,則柯西乘積
,該乘積不收斂。
收斂和梅爾滕斯定理[編輯]
令x, y為實數數列,弗蘭茲·梅爾滕斯(Franz Mertens)提出,如果級數
收斂到Y,且級數
絕對收斂到X,則他們的柯西乘積
收斂到XY。
對於兩個級數為條件收斂時,結論未必成立。如下反例所示:
考慮下述兩交錯級數:
![{\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab7d707a714812f5ef0feec9cf54c889c307f1c)
它們都是收斂的(其絕對值構成的級數因比較審斂法和調和級數的發散性而發散)。其柯西乘積的項由下式給出:
![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ec628049543be77dd043af3d42cc33d7bac74f)
其中整數 n ≥ 0。因為對於所有 k ∈ {0, 1, ..., n} 我們都有不等式 k + 1 ≤ n + 1 及 n – k + 1 ≤ n + 1,故對分母中的根式有 √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1。因此,由於共有 n + 1 個被加項,故對於所有的整數 n ≥ 0有
![{\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d587c30534dda6f2104b7af8f5e98d8520d46781)
因此,cn 在 n → ∞ 時並不趨於 0,級數 ∑ cn 發散(項測試)。
梅爾滕斯定理的證明[編輯]
令
,
,
,
(重排後)。
則
,對任意給定的 ε > 0,因為
絕對收斂,
收斂,因此存在一個整數N,對於任意n ≥ N
,和存在一個正整數M,對於所有
,有
(由級數絕對收斂,則式子收斂到0),同樣的,存在一個整數L ,如果有
,則
。
因此,對於所有n大於N, M, L,有:
![{\displaystyle |C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48add362c708bef5f7c696340ec7a71fa42a4854)
根據收斂的定義,即:
切薩羅定理[編輯]
如果x,y是實數數列,且
,
,則有:
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968d19dae3a6f3baf6e5bf95cd15b28f58e2dde9)
所有上述證明也可推廣到
複數級數。柯西乘積可以定義在乘法為內積的歐式空間
上。這種情況下,如果兩組數列絕對收斂,則柯西乘積絕對收斂到數列極限的內積
。
與卷積函數的關係[編輯]
我們可以定義柯西乘積為雙向無限數列,視為
上的函數。這種情況並非總能定義柯西乘積。例如:常數級數1和其本身的柯西乘積,
。
有的有一些配對,比如任何級數與一個有限級數的乘積,
的乘積,這與Lp空間有關。