在數學的一個分支代數中,有序體是一個全序關係通過加法和乘法運算不被改變的體。有序體最常見的例子是實數。
一個滿足下面兩個條件的、擁有全序關係
的體
被定義為有序體:對於任何
中的元素
以下兩個條件獲得滿足:
- 若
,則
。
- 若
且
,則
。
大於0的元素被稱為是正的,小於0的元素被稱為是負的。
由以上定義可以直接推導出以下特性(
是
的元素):
- 一個正的元素的負數是負的,一個負的元素的負數是正的:即任何
中的
,假如
則
或
。
- 不等式可以相加:
和
則
。
- 不等式可以與正元素相乘:
和
則
。
- 平方數不是負的:
,尤其
。
- 通過數學歸納法可以推導出任何一的有限的和是正的:
。
所有有序體都具有特徵數0。這個結論直接出於上述的最後一個特性
。
每個有序體的子體也是有序體。任何含特徵數0的體其最小子體與有理數同構,且這個子體的排序與
一致。
假如一個有序體中的任何元素都介於兩個有理數之間的話,則該體具有阿基米德性質。比如實數是具有阿基米德性質的,而超實數則不具有。
有序體
的排序可用來定義
的拓撲空間,這個拓撲空間可由
和
作為準基來生成,稱之為序拓撲。加法和乘法運算相對於這個拓撲空間是連續的。
- 有理數
組成最小的有序體
- 實數
和其中的任何部分體
- 超實數