本文討論於三維空間中曲線的扭率,關於扭率的其他用法,參見主條目
扭率。
在初等三維曲線的微分幾何中,一條曲線的扭率(torsion,或譯扭率)度量了其扭曲的程度,即偏離平面曲線的程度。空間曲線的曲率和扭率在一起,與平面曲線的曲率類似。例如,他們都是弗勒內標架的微分方程組中的系數,由弗勒內-塞雷公式給出。
設 C 是一條用弧長參數
給出的空間曲線,單位切向量為
。如果在某一點 C 的曲率
不等於 0,那麼主法向量和次法向量分別是
其中撇號代表對參數
的導數。空間曲線在一點處的切向量
和主法向量
所張成的平面就是密切平面,密切平面的法向量
是曲線的次法向量。如果曲線本身位於一個平面內,那麼這個平面就是曲線的密切平面,相應的次法向量就是常向量。如果曲線不是平面曲線,則
不是常向量。因為
是單位向量,所以
垂直於
。又因為
,所以
,故
也垂直於
。所以
與
共線。
扭率
度量了次法向量在那一點旋轉的速度。由方程式
![{\displaystyle \mathbf {b} '=-\tau \mathbf {n} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3aaebd252ae7e4b3cd5984bd6083584254b6a31)
得出
![{\displaystyle \tau =-\mathbf {n} \cdot \mathbf {b} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9334357688e8e4bc9cb2d670612e6c24f9311b0e)
註:次法向量的導數垂直於次法向量和切向量,從而和主法向量成比例。式中的負號僅僅是出於習慣,是這個學科歷史發展的副產品。
扭率半徑,通常記為 σ,定義為:
![{\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\tau }}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b0161962d33acd291a984dcdb7be1d7e34ff7e)
幾何解釋:扭率
度量了次法向量的方向的改變。扭率越大,次法向量關於切向量所在的軸的轉動越快。
- 平面曲線的扭率處處為 0;反過來,如果一條正則曲線的扭率處處為 0,那麼這條曲線在一個平面上。
- 螺旋線的曲率和扭率都是常數;反之,任何空間曲線如果其曲率和扭率都是非零常數,必然是螺旋線。扭率為正是右手螺旋,為負是左手螺旋。
- 定傾曲線或稱一般螺線(即切向量與一個固定方向交為定角的曲線)的扭率與曲率之比為常數;反之,如果正則曲線的扭率與曲率之比為常數,那麼曲線必是定傾曲線。
另一種描述[編輯]
設 r = r(t) 是空間曲線的參數方程式。假設參數是正則的且曲線的曲率處處非 0。精確地說就是,r(t)關於t三次可微,且向量
線性無關。
那麼扭率可以由下面的公式表達出來:
![{\displaystyle \tau ={{\det \left({r',r'',r'''}\right)} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}={{\left({r'\times r''}\right)\cdot r'''} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6347cdddd91e82f0ed4cce3dd1eeb6beb9fee5)
這裏撇號表示對 t 求導數,× 號為向量的叉積。對 r = (x, y, z),上述公式的分量形式為
![{\displaystyle \tau ={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+(x'y''-x''y')^{2}}}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad867ff2dd87346d8693aa5e8025e244f23dc63)
例子:圓螺旋線
的曲率、扭率都是常數,分別為
參考文獻[編輯]
Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag,2001 ISBN 1-85233-152-6