在數學中, 普朗歇爾定理(有時稱為 Parseval-Plancherel 恆等式[1] )是調和分析的一個結果,它由米歇爾·普朗歇爾於1910年證明。它指出一個函數的模的平方的積分等於其頻譜的模平方的積分。也就是說,如果
是實軸上的函數,且有頻譜
,那麼
更精確的表述是,如果一個函數同時在 Lp 空間
和
中,那麼它的傅里葉變換也在
中,且傅里葉變換是關於
範數的等距映射。這意味着,
上的傅里葉變換可以唯一地擴張為一個
的等距同構 ,後者有時稱為普朗歇爾變換。這個等距同構實際上是一個么正映射。實際上,這使得平方可積函數的傅里葉變換成為可能。
普朗歇爾定理在 n 維歐幾里德空間
上仍然有效 。更一般地,該定理對局部緊阿貝爾群也成立。對於滿足某些技術上的假定的非交換局部緊群,還有另一個版本的普朗歇爾定理。這是非交換調和分析的主題。
傅里葉變換的么正性在科學和工程領域通常被稱為帕塞瓦爾定理,該定理基於一個用於證明傅里葉級數么正性的早期結果(但不那麼具有一般性)。
藉助極化恆等式,我們還可以將普朗歇爾定理用於計算
中兩個函數的內積。也就是說,設
和
是兩個
中的函數,而
表示普朗歇爾變換,則
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f5d1941fc7916046c91cb2cb4e463825ec2fe7)
若
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
和
![{\displaystyle g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)
還是
![{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a86223fba658a5daf612b39d3e25495d548bdb)
函數,那麼還有
![{\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da05ab9fb9d43b01cb3877d29489d5c220be6ddd)
和
![{\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f4ce757cfdeda53e0c76b47360381c75d52f9a)
於是有
參考文獻[編輯]
- ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics
. Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0.
- Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
- Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
- Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .
外部連結[編輯]