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拉比判別法

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無窮級數
無窮級數

拉比判別法(英語:Raabe's Test)是判斷一個級數收歛的方法。在判斷比幾何級數收斂得慢的級數時,比柯西判別法達朗貝爾判別法更有效。[1]

定理

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對任意級數

  • 如果存在 ,使得當 時,有
那麼級數絕對收斂
  • 如果對充分大的 ,有
那麼級數發散。[1]

極限形式

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對任意級數 ,令

  • 時級數絕對收斂
  • 時說明級數 發散(沒有絕對收斂),原級數 可能收斂也可能發散。
  • 時級數可能收斂也可能發散[2][3]

證明

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  • 時,存在 使得 . 則:
對充分大的

因為當 時級數 收斂,故級數 時收斂,即級數 絕對收斂。 [4]

  • 時,有
,則
,即
由於 發散,故 發散。[1]

例子

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時無法判斷其斂散性,舉例如下:

已知有
已知當 時, ;當 時, ,然而由上式得
這說明當 時,拉比判別法無效。[5]

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 常庚哲,史濟懷. 数学分析教程(下册). 安徽合肥: 中國科學技術大學出版社. 2013: 第173頁. ISBN 9787312031311. 
  2. ^ 謝惠民. 数学分析习题课讲义. 北京: 高等教育出版社. 2004: 第8頁. ISBN 9787040129410. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. (編). Raabe's Test. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始內容存檔於2015-04-02) (英語). 
  4. ^ Mathumatiks :: Raabes Test and Logarithmic Test. mathumatiks.org. [2015-09-03]. (原始內容存檔於2016-03-04). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始內容存檔於2015-09-05) (英語).