此條目介紹的是在變量的所有排列下不變的函數。關於向量空間元素上的對稱函數,請見「
對稱張量」。
數學中,若n元函數無論變量順序如何,值都相同,就稱之為對稱函數。例如,二元函數
,若且唯若
,f是對稱函數。最常見的對稱函數類型是多項式函數,由對稱多項式給出。
一個相關概念是交錯多項式,其在變量互換後只有符號改變。除多項式函數外,作為多個向量的函數的張量也可以是對稱的,實際上向量空間V上的對稱k-向量空間同構於V上的k次齊次多項式空間。對稱函數同奇函數與偶函數是不同的概念。
對稱化[編輯]
給定任意一個n元函數f,其在阿貝爾群中取值。可對參數的所有排列求和,構造得對稱函數。同樣,對偶置換求和、再減去奇置換的求和,就可構造出反對稱函數。這些運算不可逆,而且很可能使得非平凡的f變為等於0的常數函數。若已知f的對稱化與反對稱化,則只能恢復二元的f,且阿貝爾群允許除以2(加倍的逆),這時f等於其對稱化與反對稱化之和的一半。
- 考慮實值函數
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4e0e450a946ac45d704ebf28606fcf4a8a6680)
由定義,n元對稱函數滿足以下性質
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324c106d61c752e180688eec8773519a47cefef8)
一般來說,變量的排列不影響函數值。本例中
![{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b5c6558335107543f523feace0c0cde6fc634a)
以此類推,適用於
的所有排列。
- 考慮函數
![{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7be7852c16d32d89bc5ff12b7cd6cc1373e2a2e)
若x、y互換,函數變為
![{\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2fbb1bbc0c2da08d274b9a99c6d75d4a9e1a8a)
結果與原
相同。
- 再考慮函數
![{\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88d5f5cb8a333a9383b187923d8f036d0cc4609)
若x、y互換,函數變為
![{\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3201c759c84aaaef85884df92039a1d8f728fed1)
若
,這樣就和原函數不一樣了,因此是非對稱函數。
U-統計量[編輯]
統計學中,對k-樣本統計量進行自助的對稱化,可得n元對稱函數的n樣本統計量,稱作U-統計量。例子如樣本均值和樣本方差。
參考文獻[編輯]