協變經典場論

近年來，協變經典場論又引起了研究者的興趣。動力學在這裏用有限維空間的在時空中的給定時間點上的場來表述。射流叢現在被認為是這種表述的正確定義域。 本文給出一階經典場論的協變表述的一些幾何結構。

記法

本條目記法和射流叢條目所引入的一致。並令${\bar {\Gamma }}(\pi )$表示有緊支撐的$\pi \,$的截面。

作用量積分

一個經典場論數學上可以如下表述

• 一個纖維叢 $({\mathcal {E}},\pi ,{\mathcal {M}})$，其中${\mathcal {M}}$表示一個$n\,$維時空。
• 一個拉格朗日量形式 $\Lambda :J^{1}\pi \rightarrow \Lambda ^{n}M$

令$\star 1\,$代表$M\,$上的體積形式，則$\Lambda =L\star 1\,$，其中$L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb {R}$是拉格朗日量函數。 我們在 $J^{1}\pi \,$上選擇纖維化坐標$\{x^{i},u^{\alpha },u_{i}^{\alpha }\}\,$，使得

$\star 1=dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}$

作用量積分定義為

$S(\sigma )=\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma )^{*}\Lambda \,$

其中$\sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )$，並定義於開集$\sigma ({\mathcal {M}})\,$，而$j^{1}\sigma \,$代表其第一射流延長(jet prolongation)。

作用量積分的變分

截面$\sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,$的變分由曲線$\sigma _{t}=\eta _{t}\circ \sigma \,$給出，其中$\eta _{t}\,$是一個${\mathcal {E}}\,$上的$\pi \,$-豎直向量場$V\,$的流，它在${\mathcal {M}}\,$上有緊支撐。 截面$\sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,$稱為變分的駐點，如果

$\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma _{t})^{*}\Lambda =0\,$

這等價於

$\int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\Lambda =0\,$

其中$V^{1}\,$代表$V\,$的第一延長，按李導數的定義。 使用嘉當公式，${\mathcal {L}}_{X}=i_{X}d+di_{X}\,$， 斯托克斯定理以及$\sigma \,$的緊支撐，可以證明這等價於

$\int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =0\,$

歐拉－拉格朗日方程

考慮一個${\mathcal {E}}$的$\pi \,$-豎直向量場

$V=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,$

其中$\beta ^{\alpha }=\beta ^{\alpha }(x,u)\,$。採用切觸形式 $\theta ^{j}=du^{j}-u_{i}^{j}dx^{i}\,$ on $J^{1}\pi \,$，我們可以計算$V\,$的第一延長。然後得到

$V^{1}=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}\,$

其中$\gamma _{i}^{\alpha }=\gamma _{i}^{\alpha }(x,u^{\alpha },u_{i}^{\alpha })\,$。 據此，可以證明

$i_{V^{1}}d\Lambda =\left[\beta ^{\alpha }{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\right]\star 1\,$

因而

$(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =\left[(\beta ^{\alpha }\circ \sigma ){\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}\circ \sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}\circ \sigma \right){\frac {\partial \sigma ^{j}}{\partial x^{i}}}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right]\star 1\,$

分部積分並考慮$\sigma \,$的緊支撐，臨界條件變為

$\int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda \,$	$=\int _{\mathcal {M}}\left[{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)\right](\beta ^{\alpha }\circ \sigma )\star 1\,$
	$=0\,$

因為$\beta ^{\alpha }\,$為任意函數，我們得到

${\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)=0\,$

這些就是歐拉－拉格朗日方程組。

參看

• 經典場論
• 外代數
• 纖維叢
• 射流
• 量子場論

參考

• Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
• De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
• Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
• Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003
• Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories, May 1995