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利普希茨連續

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數學中,特別是實分析利普希茨連續Lipschitz continuity)以德國數學家魯道夫·利普希茨命名,是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上,利普希茨連續函數限制了函數改變的速度,符合利普希茨條件的函數的斜率的絕對值,必小於一個稱為利普希茨常數的實數(該常數依函數而定)。

微分方程,利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續,稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理

利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上;利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續

定義

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對於利普希茨連續函數,存在一個雙圓錐(白色)其頂點可以沿着曲線平移,使得曲線總是完全在這兩個圓錐外。

對於在實數集的子集的函數 ,若存在常數,使得,則稱 符合利普希茨條件,對於 最小的常數 稱為 利普希茨常數

稱為收縮映射

利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義:

給定兩個度量空間。若對於函數,存在常數 使得

則說它符合利普希茨條件。

若存在使得

則稱雙李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理

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若已知有界,符合利普希茨條件,則微分方程初值問題剛好有一個解。

在應用上,通常屬於一有界閉區間(如)。於是必有界,故有唯一解。

例子

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  • 符合利普希茨條件,
  • 不符合利普希茨條件,當
  • 定義在所有實數值的符合利普希茨條件,
  • 符合利普希茨條件,。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
  • 不符合利普希茨條件,。不過,它符合赫爾德條件
  • 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界,符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有函數都是局部利普希茨的,因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

性質

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  • 符合利普希茨條件的函數連續,實際上一致連續
  • 雙李普希茨(bi-Lipschitz)函數是單射
  • Rademacher定理:若為開集,符利普希茨條件,則幾乎處處可微。[1]
  • Kirszbraun定理:給定兩個希爾伯特空間符合利普希茨條件,則存在符合利普希茨條件的,使得的利普希茨常數和的相同,且[2][3]

參考

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  1. ^ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis頁面存檔備份,存於互聯網檔案館, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (第18頁以後)
  2. ^ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
  3. ^ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.