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擊中時

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布朗運動過程的三個路徑,接觸到上限則結束

擊中時也稱為命中時首中時,是數學隨機過程研究裏出現的一個概念,表示一個隨機過程首次接觸到狀態空間的某個子集的時間。在特定的例子中,也會被稱為離時脫離時間)或回時首次迴歸時間)。

定義

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是一個有序的指標集,比如說是自然數的集合、非負實數或者是這兩者的子集。中的一個元素可以被認為是一種記錄時間的方式(離散或連續型)。給定一個概率空間,一個可測狀態空間,設為一個隨機過程,並設中的一個可測子集。那麼,隨機過程首次接觸子集的擊中時定義為以下的隨機變量[1]:155

同樣,可以定義首次離開子集的離時:

可以看出離時實際上也是擊中時的一種,表示首次接觸到要研究的子集的補集的時間。很多時候,離時也會記為,和擊中時一樣。

另外一種擊中時是 後首次回到出發點的擊中時,稱為回時或首次迴歸時間:

例子

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  • 上標準的布朗運動過程,則對於任意(實數的)波萊爾可測子集,都可以定義首次接觸的擊中時,並且可以證明這樣定義的擊中時都是停時。
  • 如果定義標準布朗運動首次離開區間的離時為,那麼這個離時也是停時,它的數學期望值是:方差

首發定理

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對於給定的概率空間,隨機過程首次進入狀態空間中的一個可測子集的擊中時也稱為的首發時間(début)。首發定理說明,如果隨機過程是循序可測的,那麼可測子集的首發時間一定是停時。循序可測過程包括所有的左連續適應過程和右連續適應過程。首發定理的證明用到了解析集的性質。首發定理需要概率空間是完全概率空間

首發定理的逆定理指出,所有定義在某個實數時間軸的濾波上的停時,都能表示為某個狀態空間子集的擊中時。特別地,存在一個適應的不增隨機過程,其路徑幾乎總是左極限右連續,並且取值為0或1,使得子集的擊中時就是對應的停時。

參見

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參考來源

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  1. ^ (英文)Rick Durrett. Probability: theory and examples,4th edition. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390.