在拓撲學中,烏雷松引理,有時稱為「拓撲學中的第一非平凡事實」,通常用於構造正規空間上不同性質的連續函數。這個定理有廣泛的應用,因為所有的度量空間和緊豪斯多夫空間都是正規的。
這個引理是以帕維爾·薩穆伊洛維奇·烏雷松命名的。
正式表述[編輯]
烏雷松引理說明,
是一個正規拓撲空間,若且唯若只要
和
是
的不交閉子集,就存在一個從
到單位區間
的連續函數:
,
使得對於所有
,都有
,而對於所有
,都有
。
任何滿足這個性質的函數f都稱為烏雷松函數。
注意
和
以外的元素
並不需要使得
或
。這只在完備正規空間中才有可能。
烏雷松引理導致了其它拓撲空間,例如「吉洪諾夫性質」和「完全豪斯多夫空間」的表述。例如,這個引理的一個推論是:正規的T1空間是吉洪諾夫空間。
烏雷松的洋蔥函數。
對於每一個二進分數
,我們構造
的一個開子集
,使得:
,且對於所有的
,
;
- 對於
,
的閉包位於
內。
有了這些集合以後,我們便定義
對於所有
。利用二進有理數是稠密的事實,便不難證明
是連續的,且具有性質
和
。
為了構造集合
,我們還需要做更多事情:我們構造集合
和
,使得:
- 對於所有的
,都有
且
;
- 對於所有的
,
和
都是開集和不交的;
- 對於
,
包含在
的補集之內,而
的補集包含在
之內。
由於
的補集是閉集,且含有
,因此從最後一個條件可以推出上面的條件 (2)。
我們使用數學歸納法。由於
是正規的,我們便可以找出兩個不交的開集
和
,分別含有
和
。現在假設
,且集合
和
對於
已經構造了。由於
是正規的,我們便可以找出兩個不交的開集,分別含有
的補集和
的補集。稱這兩個開集為
和
,並驗證以上的三個條件成立。
參考文獻[編輯]