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馬爾可夫不等式

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馬爾可夫不等式提供了超過某特定數值(圖中標示紅色線處)概率的上界,其上界包括了特定數值的平均值

概率論中,馬爾可夫不等式(英語:Markov's inequality)給出了隨機變量的函數大於等於某正數的概率的上界。雖然它以俄國數學家安德雷·馬爾可夫命名,但該不等式曾出現在一些更早的文獻中,其中包括馬爾可夫的老師——柴比雪夫

馬爾可夫不等式把概率關聯到數學期望值,給出了隨機變量的累積分佈函數一個寬泛但仍有用的界。

馬爾可夫不等式的一個應用是,不超過1/5的人口會有超過5倍於人均收入的收入。

表達式

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X為一非負隨機變量,則

[1]

若用測度領域的術語來表示,馬爾可夫不等式可表示為若(X, Σ, μ)是一個測度空間,ƒ可測擴展實數的函數,且,則

有時上述的不等式會被稱為柴比雪夫不等式[2]

對於單調遞增函數的擴展版本

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φ是定義在非負實數上的單調遞增函數,且其值非負,X是一個隨機變量,a ≥ 0,且φ(a) > 0,則

證明

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用來推導柴比雪夫不等式

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柴比雪夫不等式使用方差來作為一隨機變量超過平均值概率的上限,可以用下式表示:

對任意a>0,Var(X)為X的方差,定義如下:

若以馬爾可夫不等式為基礎,柴比雪夫不等式可視為考慮以下隨機變量

根據馬爾可夫不等式,可得到以下的結果

矩陣形式的馬爾可夫不等式

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為自共軛矩陣形式的隨機變量,且,則

應用實例

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  • 馬爾可夫不等式可用來證明柴比雪夫不等式
  • 馬爾可夫不等式可用來證明一個非負的隨機變量,其平均值和中位數滿足的關係。

參見

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參考資料

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  1. ^ Sheldon M Ross. Introduction to probability and statistics for engineers and scientists. Academic Press. 2009: 第127頁. ISBN 9780123704832. 
  2. ^ E.M. Stein, R. Shakarchi, "Real Analysis, Measure Theory, Integration, & Hilbert Spaces", vol. 3, 1st ed., 2005, p.91