通量

通量（英語：Flux），或稱流束是通過一個表面或一個物質的量，是一個物理學和應用數學的概念。在熱學和流體力學領域中，研究輸運現象時，是指在單位時間內通過單位面積的具有方向的流量，它是一個向量；在電磁學領域中，是指在單位面積上垂直於其表面的磁場或電場的強度，它是一個純量。

給定一個三維空間中的向量場 $\mathbf {A}$ 以及一個簡單有向曲面 $\Sigma$ ，則向量場 $\mathbf {A}$ 通過曲面 $\Sigma$ 的通量就是曲面每一點 $x$ 上的場向量 $\mathbf {A} (x)$ 在曲面法向方向上的分量的積分:

\Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )=\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S

其中 $\mathrm {d} S$ 是積分的面積元，n是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量。如果曲面是封閉的，例如球面，那麼通常約定法向量是從裏朝外的，所以這時候的通量是描述曲面上的場向量朝外的程度。

術語

通量這個詞源於拉丁語：fluxus 意為「流」，fluere 是「流動」的意思。而 fluxion 一詞是由牛頓引入微積分。

熱通量的概念是約瑟夫·傅立葉對熱傳遞現象分析的重要貢獻之一。他的重要著作《熱的分析理論》（英語：The Analytical Theory of Heat）中，將 fluxion 定義為一個核心量，並推導出了現在的通量表達式。這些表達式與平板的溫度差異有關，且更廣義地在其他幾何形狀的溫度梯度或溫度差異有關。根據詹姆斯·克拉克·馬克士威的研究，可以顯示其傳輸的定義早於磁通量定義。馬克士威的具體引言是：

In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.（中文：就通量而言，我們必須以通過表面的每個通量對其表面取積分。這個操作的結果即通量的曲面積分。它呈現的是通過該表面的量。）
—— 詹姆斯·克拉克·馬克士威

根據傳輸的定義，通量可為單一向量，也可以是位置的向量場／函數。後者的通量可以很容易地在一個表面上積分。相比之下，根據電磁學定義，通量是對表面的積分；對於第二種定義的通量進行積分是沒有意義的，因為這樣會對表面進行兩次積分。因此，馬克士威的引言只有在「通量」按照傳輸定義使用時才有意義（進一步來說，是向量場而不是單一向量）。這很諷刺，因為馬克士威是我們現在所稱的「電通量」和「磁通量」的主要發展者之一，而這些名稱是根據電磁學定義來的。根據該引言（和傳輸定義），它們應該被稱為「電通量的曲面積分」和「磁通量的曲面積分」。在這種情況下，「電通量」應定義為「電場」，「磁通量」應定義為「磁場」。這意味着馬克士威將這些場視為某種形式的流動／通量。

根據電磁學定義的通量，其相應的通量密度（假設使用這個術語）指的是沿積分表面的導數。根據微積分基本定理，相應的通量密度是根據傳輸定義的通量。給定一個流，例如電流——每單位時間的通電量，電流密度根據傳輸定義也是一個通量——每單位時間每單位面積的通電量。由於通量的定義衝突，以及在非技術性英語中通量、流動和電流的互換性，本文中的所有術語有時會被互相使用且可能含義模糊。本文其餘部分中具體的通量將根據其在文獻中的廣泛接受度來使用，無論該術語對應哪種通量的定義。

以單位面積流量表示的通量

在輸送現象（熱傳、質傳和流體動力學），通量被定義為「每單位面積的流量的流動率」，其因次組成為量 (物理)·[時間]⁻¹·[面積]⁻¹^[1]。這個面積是流「通過」或「穿過」的表面。例如，每秒鐘流經河流橫截面的水量除以橫截面的面積，或是每秒鐘落在地面一塊區域上的陽光能量除以該區域的面積，都是通量的例子。

一般數學定義（傳輸）

以下是按複雜度遞增的三個定義。每個定義都是下面這個的一個特例。在所有情況下，常用符號 ${\textstyle j}$ （或 ${\textstyle J}$ ）表示通量， ${\textstyle q}$ 表示流動的物理量， ${\textstyle t}$ 表示時間， ${\textstyle A}$ 表示面積。當且唯當這些標識符是向量時，它們將以粗體顯示。

首先，通量作為一個（單一的）純量時：

$j={\frac {I}{A}}$

其中

$I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$

在這種情況下，測量固定的通量的表面，且具有面積 $A$ 。假設該表面是平坦的，而流量在各處相對於位置是恆定的，並且垂直於表面。

其次，通量作為沿着表面定義的純量場，即作為表面上各點的函數：

$j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),$ $I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).$

如上所述，假設表面是平坦的，且流量在各處都垂直於表面。然而，流不需要是恆定的。此時， $q$ 是 p（表面上的一個點）的函數，面積 $A$ 亦是。與其測量通過整個表面的總流量，不如 $q$ 測量的是以 p 為中心、沿表面上面積 A 的圓盤通過的流量。

最後，通量作為一個向量場時： $\mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),$ $\mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).$

在這種情況下，我們沒有固定的表面來測量。 $q$ 是一個點、面積和方向（由單位向量 $\mathbf {\hat {n}}$ 給定）的函數，並測量與該單位向量垂直的面積 A 的圓盤中的流量。 $I$ 的定義是選擇使該點周圍流量最大的單位向量，因為真正的流量在垂直於該單位向量的圓盤上達到最大值。因此，當單位向量指向流動的「真正方向」時，它唯一地最大化該函數。（嚴格來說，這是一種濫用符號，因為「arg max」無法直接比較向量；我們改為選擇具有最大範數的向量。）

性質

這些直接的定義，尤其是最後一個，顯得相對不完善。例如，從經驗測度（英語：Empirical measure）來看，arg max 的構造是人工的，而使用風向標或類似工具可以簡單推斷出某一點的通量方向。與其直接定義向量通量，通常更直觀的是陳述一些關於它的性質。此外，通量可以根據這些性質唯一確定。

若通量 j 以角度 $\theta$ 通過（ $\theta$ 為該通量與該面積法向量 $\mathbf {\hat {n}}$ 形成之夾角），則其點積為：

$\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta$

也就是說，通過表面的通量分量（即垂直於表面的分量）是 $j\cos {\theta }$ ，而沿切向通過表面的通量分量是 $j\sin {\theta }$ ，但實際上沒有通量沿切向通過表面。唯一通過且垂直表面的通量分量是其餘弦分量。

對於向量通量，通量 j在表面 $S$ 上的曲面積分給出了每單位時間通過該表面的適當流量：

${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A}$

其中 A（及其無窮小量）是向量面積（英語：vector area）—— $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$ 的組合，結合了面積 A 的大小和垂直於該面的單位向量 $\mathbf {\hat {n}}$ 。與第二組方程式不同的是，這裏不需要平坦的表面。

最後，以時間區間 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 做積分，計算在該時間段 $(t_{2}-t_{1})$ 內流過表面的總量：

$q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \operatorname {d} \mathbf {A} \operatorname {d} \!t$

傳輸通量

八種在輸送現象文獻中最常見的通量定義如下：

動量通量（英語：Transport phenomena#Momentum transfer）（英語：momentum flux）：單位面積上動量的傳輸速率 (N·s·m⁻²·s⁻¹)。（牛頓黏度定律）^[2]
熱通量（英語：heat flux）：單位面積上熱流動的速率 (J·m⁻²·s⁻¹)。（傅立葉熱傳導定律）（也符合馬克士威對熱通量的原始定義。）^[3]
擴散通量（英語：diffusion flux）：單位面積上分子運動的速率 (mol·m⁻²·s⁻¹)。（菲克定律）
體積通量（英語：Volumetric flux）（英語：volumetric flux）：單位面積上體積流動的速率 (m³·m⁻²·s⁻¹)。（達西定律）
質量通量（英語：mass flux）：單位面積上質量流動的速率 (kg·m⁻²·s⁻¹)。（質量通量可以是費克定律的另一種形式，其中包含分子質量；或者達西定律的另一種形式，其中包含密度。）
輻射通量（英語：radiative flux）：單位面積、每秒從光源在特定距離處以光子形式傳輸的能量量 (J·m⁻²·s⁻¹)。這在天文學中用於確定恆星的星等和光譜類型。它也是熱通量的一種推廣，當限制在電磁頻譜範圍內時，輻射通量就等於熱通量。
能量通量（英語：energy flux）：單位面積上能量傳輸的速率 (J·m⁻²·s⁻¹)。輻射通量和熱通量是能量通量的特例。
粒子通量（英語：particle flux）：單位面積上粒子傳輸的速率 ([粒子數量] m⁻²·s⁻¹)。

這些通量在空間中的每一個點都是向量，具有明確的大小和方向。此外，可對任何這些通量取散度，以確定在空間中給定點周圍的控制體積內該量的累積速率。對於不可壓縮流，體積通量的散度為零。

化學擴散

如上所述，化學的莫耳通量在等溫、等壓系統中，成分 A 在菲克擴散定律中定義為：

$\mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}$

其中 nabla 符號 $\nabla$ 表示梯度算子， $D_{AB}$ 是成分 A 透過成分 B 擴散時的擴散系數 (m²·s⁻¹)， $c_{A}$ 是成分 A 的濃度 (mol/m³)。^[4]

這個通量的單位是 mol·m⁻²·s⁻¹，符合馬克士威對通量的原始定義。^[3]

對於稀薄氣體，分子動力學理論將擴散系數 D 與粒子密度 n=N/V、分子質量 m、碰撞截面 σ 以及絕對溫度 T 聯繫起來，關係式如下：

$D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}$

其中，第二個因子是平均自由徑，而平方根（包含波茲曼常數 k）項則是粒子的平均速率。

在紊流中，渦旋運動所造成的傳輸可以表示為一個大幅增加的擴散系數。

量子力學

在量子力學中，質量為 m 的粒子在量子態 ψ(r, t) 下，其概率幅定義為：

$\rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}$

因此，在微分體積元素 d³r 中找到粒子的概率是：

$dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r}$

那麼，單位時間內垂直穿過截面單位面積的粒子數就是概率通量（英語：probability flux）。

$\mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \right)$

有時也被稱為概率流、概率流密度^[5]，或者概率通量密度^[6]。

參見

這是一篇物理學小作品。您可以透過編輯或修訂擴充其內容。

^ Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. Transport Phenomena. Wiley. 1960. ISBN 0-471-07392-X.
^ Whelan, P. M.; Hodgson, M. J. Essential principles of physics. London: Murray. 1978. ISBN 978-0-7195-3382-2.
^ ^3.0 ^3.1 Maxwell, James Clerk. A treatise on electricity & [and] magnetism 3rd ed. New York: Dover. 1954. ISBN 978-0-486-60636-1.
^ Welty, James R. (編). Fundamentals of momentum, heat, and mass transfer 4th ed. New York: Wiley. 2001. ISBN 978-0-471-38149-5.
^ McMahon, David. Quantum mechanics demystified. Demystified series. New York: McGraw-Hill. 2006. ISBN 978-0-07-145546-6.
^ Sakurai, Jun John. Advanced quantum mechanics. Redwood-City (Calif.) [etc.]: Addison-Wesley. 1987. ISBN 978-0-201-06710-1.

[1] Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. Transport Phenomena. Wiley. 1960. ISBN 0-471-07392-X.

[2] Whelan, P. M.; Hodgson, M. J. Essential principles of physics. London: Murray. 1978. ISBN 978-0-7195-3382-2.

[:0-3] 3.0 ^3.1 Maxwell, James Clerk. A treatise on electricity & [and] magnetism 3rd ed. New York: Dover. 1954. ISBN 978-0-486-60636-1.

[4] Welty, James R. (編). Fundamentals of momentum, heat, and mass transfer 4th ed. New York: Wiley. 2001. ISBN 978-0-471-38149-5.

[5] McMahon, David. Quantum mechanics demystified. Demystified series. New York: McGraw-Hill. 2006. ISBN 978-0-07-145546-6.

[6] Sakurai, Jun John. Advanced quantum mechanics. Redwood-City (Calif.) [etc.]: Addison-Wesley. 1987. ISBN 978-0-201-06710-1.

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