西爾維斯特矩陣,是與兩個多項式相關的矩陣,從這個矩陣可以知道這兩個多項式的一些信息。
設p和q為兩個多項式,次數分別為m和n。因此:
![{\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d53ca7b76a15c00f06eb5fe7baf75b011bc0c4)
於是,與p和q相關的西爾維斯特矩陣,就是通過以下方法得到的矩陣
:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14928528704a4cef172967630a4d4504331cc58)
- 第二行是第一行往右移一列;第二行第一列的元素是零。
- 下面的(n-2)行也是用這種方法得出,每次都往右移一列。
- 第(n+1)行為:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61eb7d14446d073568decc453d6661a340e6ac7)
因此,如果我們設m=4和n=3,則矩陣為:
![{\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e632af104ba1c4e0051f89a40450f0787697cac)
西爾維斯特矩陣用於交換代數中,例如測試兩個多項式是否有一個(非常數)公因式。確實,在這種情況下,相關的西爾維斯特矩陣的行列式(稱為兩個多項式的結式)等於零。反過來也成立。
以下線性方程組的解
![{\displaystyle {S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a8104c1c4e81e58ab744fc63b359436c63c89b)
其中
是大小為
的向量,
是大小為
的向量,由滿足下式的多項式對
(次數分別為
和
)的係數向量構成:
![{\displaystyle x\cdot p+y\cdot q=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6c3da088e0c828854effeefa1e6b8aec0c4a79)
這就是說,西爾維斯特矩陣的轉置的核給出了裴蜀方程的所有解,其中
且
。
這樣,西爾維斯特矩陣的秩決定了
和
的最大公因式的次數:
![{\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=m+n-\mathrm {rank} ~S_{p,q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248a7771978bb654f5bda32ad47839839d7747a6)
參考文獻[編輯]