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積分第一中值定理

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積分第一中值定理的內容為:

為一連續函數 要求g(x)是可積函數且在積分區間不變號,那麼存在一點 使得

事實上,可以證明,上述的中值點必能在開區間內取得[1],見下方中值點在開區間內存在的證明。

證明

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因為 閉區間上的連續函數, 取得最大值 最小值 。於是

不等式積分,我們有

,則 可取 上任一點。

,那麼

因為 是連續函數,根據介值定理,必存在一點 ,使得

中值點在開區間內存在的證明

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已知上連續,設

上連續,在內可導,應用拉格朗日中值定理,可得:

,其中

所以

參考文獻

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  1. ^ 華東師範大學數學系. 数学分析 上册 第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219頁. 

由微積分基本性質,當被積函數在[a,b]上連續時,原函數在[a,b]上是可導的,而拉格朗日定理的假設是「f(x)在(a,b)內可導" 所以原文中「知F(x)在[a,b]上連續,在[a,b]內可導,應用拉格朗日中值定理,可得:」應該改為 「知F(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,應用拉格朗日中值定理,可得:」 否則無法排除ξ只取在a或者b上的可能

此說法並不嚴密。現根據以上對原定理的證明,來解釋為什麼可以改為 。 因為 上連續,所以上有最大值 和最小值 。設,如果,則是常值函數,任取即可。如果 ,由於函數連續且有一點使 ,所以由積分性質有 ,即

同理可得 ,故有

由連續函數的介值定理,至少存在一點(或),使得,即

註:以上內容參考延邊大學出版社《數學分析輔導及習題精解 華東師大.第四版 上冊》

另請參見

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